|
Теорема Объем призмы Объем \(\href{https://examp.info/onedef/prizma/}{\text{призмы}}\) равен произведению площади основания на высоту. Доказательство Рассмотрим сначала треугольну призму (рис. 1). Дополним ее до параллелепипеда, как указано на рисунке. Точка \(O\) \(-\) является центром симметрии параллелепипеда. Поэтому достроенная призма симметрична исходной относительно точки \(O,\) следовательно, имеет объем, равный объему исходной призмы. Таким образом, объем построенного параллелепипеда равен удвоенному объему данной призмы. Объем параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту. Площадь его основания равна удвоенной площади треугольника \(ABC,\) а высота равна высоте исходной призмы. Отсюда заключаем, что объем исходной призмы равен произведению площади ее основания на высоту. Рассмотри теперь произвольную призму (рис. 2). Разобьем ее основание на треугольники. Пусть \(\triangle\) \(-\) один из этих треугольников. Проведем через произвольную точку \(X\) треугольника \(\triangle\) прямую, параллельную боковым ребрам. Пусть \(a_x\) \(-\) отрезок этой прямой, принадлежащий призме. Когда точка \(X\) описывает треугольник \(\triangle\), отрезки \(a_x\) заполняют треугольную призму. Построив такую призму для каждого треугольника \(\triangle\), мы получим разбиение данной призмы на треугольные. Все эти призмы имеют одну и ту же высоту, равную высоте исходной призмы. Объем данной призмы равен сумме объемов треугольных призм, ее состовляющих. По доказанному объем треугольной призмы равен произведению площади ее основания на высоту. Отсюда следует, что объем исходной призмы равен: \begin{gather*}
|
