Определите, какое из двух чисел больше: \(\sqrt{\mathstrut 3+2\sqrt{\mathstrut 2}}+\sqrt{\mathstrut 3-2\sqrt{\mathstrut 2}}\) или \(3\).

Показать решение

Дана возрастающая арифметическая прогрессия, состоящая из положительных чисел. Произведение третьего и четвёртого членов этой прогрессии в два раза больше произведения первого и шестого её членов. Найдите разность этой прогрессии, если известно, что восьмой её член равен \(32\).

Показать решение

Решите уравнение \({\cos 2x} + 6\sin 2x=\cos 4x + 6\sin x\).

Показать решение

Решите неравенство \(\log _{3} (1-x)-\log _{3} (1+x)+\log_{1+x}(1-x)-1\leqslant0\).

Показать решение

В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(60^{\circ}\). На сторонах\(AB, BC, AC\) отмечены точки \(D\), \(E\), \(F\) соответственно. Радиус окружности, вписанной в треугольник \(ADF\), равен 1. Радиус окружности, вписанной в треугольник \(BDE\), равен \(2\). Найдите сторону \(AB\), если известно, что четырёхугольник \(DECF\) является ромбом.

Показать решение

Найдите все пары действительных чисел \(x\), \(y\), удовлетворяющих соотношению
\begin{equation*}
\frac{x^2+y^2}{2}+\frac{1}{xy}=2\sqrt{\mathstrut 2-\sqrt{\mathstrut xy}}\sqrt[4]{\mathstrut xy}.
\end{equation*}

Показать решение

Высота правильной треугольной призмы \({ABCA'B'C}'\) с основанием \({ABC}\) и боковыми рёбрами \({AA'},{BB'},{CC'}\) равна \(1\). Найдите длину ребра основания, если известно, что \({AB'}\perp {BC'}.\)

Показать решение

Дана криптограмма: \[\begin{array}{ccccc} \text{ФН} & \times &\text{ Ы} & = & \text{ФАФ} \\ + & & \times & & - \\ \text{ЕЕ} & + & \text{Е} & = & \text{НЗ} \\ = & & = & & = \\ \text{ИША} & + & \text{МР} & = & \text{ИМН} \end{array}\] Восстановите цифровые значения букв, при которых справедливы все указанные равенства, если разным буквам соответствуют различные цифры. Расставьте буквы в порядке возрастания их цифровых значений и получите искомый текст.

Показать решение

Вычислите значение функции \(x^2 - 0{,}625x - \dfrac 18\) в точке \(x = \dfrac 45.\)

Показать решение

Решите уравнение \((\sin x + \cos x)^2 = 1.\)

Показать решение

Решите уравнение \(\log_2(3x - 4) = \log_4(2 - x)\).

Показать решение

а) Решите уравнение \(2\sin^3 x +\sqrt{3} \cos^2 x = \sqrt{3}.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi\right]\).

Показать решение

Медианы \( AL\) и \(BM\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(K\). Найдите длину отрезка \(CK\), если \(AB = \sqrt{3}\) и известно, что вокруг четырехугольника \(KLCM\) можно описать окружность.

Показать решение

Найдите наибольшее из значений функции \(f(x) = \dfrac{9^x}{4^x - 6^x + 9^x}\) и точку \(x\), в которой это значение достигается.

Показать решение

В закрытой коробке, имеющей форму куба со стороной 5, лежат два шара. Радиус первого из них равен 2. Этот шар касается плоскости основания и двух соседних боковых граней куба. Второй шар касается двух других боковых граней куба, плоскости основания и первого шара. Чему равен радиус второго шара?

Показать решение

Решите систему неравенств: \( \left\{ \begin{array}{l} 2x^2 + 4xy + 11y^2 \leqslant 1, \\ 4x + 7y \geqslant 3. \end{array} \right.\)

Показать решение

Вычислите значение функции \(\dfrac{x^2 - 5}{x - 0{,}2}\) в точке \(x = \dfrac 94.\)

Показать решение

Решите уравнение \((\sin x + \cos x)^2 = 2\).

Показать решение

Решите уравнение \(\log_3(5 - 2x) = \log_9(5 + x).\)

Показать решение

Решите неравенство \(\dfrac{\sqrt{1 - x} - 1}{\sqrt{2 + 3x} - 1} < 1.\)

Показать решение

Медианы \(AP\) и \(BQ\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(D\). Найдите длину отрезка \(AB\), если \(CD = \sqrt{12}\) и известно, что вокруг четырехугольника \(PCQD\) можно описать окружность.

Показать решение

Найдите наибольшее из значений функции \(f(x) = \dfrac{6^x}{9^{x + 1} + 6^x + 4^{x-1}}\) и точку \(x\), в которой это значение достигается.

Показать решение

Внутри куба с ребром 3 расположены две сферы. Первая касается плоскости основания и двух соседних боковых граней куба. Вторая сфера касается тех же двух боковых граней, грани куба, параллельной основанию, и первой сферы. Чему равен радиус второй сферы, если радиус первой равен 1?

Показать решение

Решите систему неравенств: \(\left\{ \begin{array}{l} 3x^2 + 4xy + 12y^2 \leqslant 1, \\ 5x + 6y \leqslant-3. \end{array} \right.\)

Показать решение

Вычислите значение функции \(0{,}125 \, x^2 - \dfrac 13 \, x +\dfrac 19\) в точке \(x = \dfrac 12\).

Показать решение

Решите уравнение \((\sin x - \cos x)^2 = 1\).

Показать решение

Решите уравнение \[\log_2(1 - 3x) = \log_4(5x - 1).\]

Показать решение

Решите неравенство \[\dfrac{\sqrt{4x - 2} - 1}{\sqrt{3x - 1} - 1} > 1.\]

Показать решение

\(\href{https://examp.info/onedef/mediana-treugolnika/}{\text{Медианы}}\) \(KC\) и \(LD\) треугольника \(KLM\) пересекаются в точке \(E\). Найдите длину отрезка \(EM\), если \(KL = 3\) и известно, что вокруг четырехугольника \(ECMD\) можно описать окружность.

Показать решение

Найдите наибольшее из значений функции \[\cfrac{4^x}{2\cdot 5^{2x} - 10^x + 4^{x}}\]и точку \(x\), в которой это значение достигается.

Показать решение

В закрытой коробке, имеющей форму куба со стороной 8, лежат два шара. Радиус первого из них равен 2. Этот шар касается плоскости основания и двух соседних боковых граней куба. Второй шар радиуса 3 касается двух других боковых граней куба и первого шара. На какой высоте над дном коробки находится центр второго шара?

Показать решение

Решите систему неравенств: \( \left\{ \begin{array}{l} 4x^2 - 2xy + 7y^2 \leqslant 1, \\ 2x - 5y \geqslant 2. \end{array} \right. \)

Показать решение

Вычислите значение функции \(\frac{x^2 - 1,75}{x + 5}\) в точке \(x = \frac 43\).

Показать решение

Решите уравнение \((\sin x - \cos x)^2 = 2\).

Показать решение

Решите уравнение \(\log_3(2x + 1) = \log_9(4 + 3x)\).

Показать решение

Решите неравенство \(\frac{\sqrt{1 - 3x} - 1}{\sqrt{2 + x} - 1} < 1\).

Показать решение

Медианы \(PE\) и \(QF\) треугольника \(PQR\) пересекаются в точке \(S\). Найдите длину отрезка \(PQ\), если \(SR = 2\) и известно, что вокруг четырехугольника \(SERF\) можно описать окружность.

Показать решение

Найдите наибольшее из значений функции \(f(x) = \dfrac{10^x}{25^{x - 1} + 10^x + 4^{x+1}}\) и точку \(x\), в которой это значение достигается.

Показать решение

В кубе с ребром 1 расположены две сферы различных радиусов. Первая касается плоскости основания и двух соседних боковых граней куба. Вторая сфера касается двух других боковых граней, грани куба, параллельной основанию, и первой сферы. Чему равна сумма радиусов сфер?

Показать решение

Решите систему неравенств: \( \left\{ \begin{array}{l} 5x^2 - 2xy + 9y^2 \leqslant 1, \\ 3x - 5y \leqslant -2. \end{array} \right. \)

Показать решение

Найдите многочлен второй степени, если известно, что его корни равны \(-\frac 47\) и \(\frac 53\), а свободный член равен -2.

Показать решение

Вычислите \(\log_2\log_{81}\frac{417}{139}\).

Показать решение

Решите неравенство \((9^x - 3^{x + 2} + 14) \cdot \sqrt{4 - 2^x} \leqslant 0\).

Показать решение

Решите уравнение \(\sin 3x = \sqrt{2} \cos x - \sin x\).

Показать решение

Найдите площадь фигуры, состоящей из точек \((x, y)\) координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению \( |x| + |x + 3y| + 3|y - 2| = 6.\)

Показать решение

Окружность касается сторон \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) в точках \(D\) и \(E\), соответственно, и пересекает сторону \(AC\) в точках \(F\), \(G\) (точка \(F\) лежит между точками \(A\) и \(G\)). Найдите радиус этой окружности, если известно, что \(AF = 5\), \(GC = 2\), \(AD:DB = 2:1\) и \(BE = EC.\)

Показать решение

Определите, при каких значениях параметра \(a\) уравнение \( a\sqrt{x + y} = \sqrt{3x} + 2\sqrt{y} \) имеет единственное решение \((x, y).\)

Показать решение

В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник \(ABC\) со сторонами \(AC = BC = 5\) и \(AB = 6\). Боковые ребра \(AS\), \(BS\) и \(CS\) пирамиды равны соответственно \(7\), \(7\) и \(4\). Прямой круговой цилиндр расположен так, что окружность его верхнего основания имеет ровно одну общую точку с каждой из боковых граней пирамиды, а окружность нижнего основания лежит в плоскости \(ABC\) и касается прямых \(AC\) и \(BC\). Найдите высоту цилиндра.

Показать решение

Найдите многочлен второй степени, если известно, что его корни равны \(-\frac 57\) и \(\frac 94\), а свободный член равен -5.

Показать решение

Вычислите \(\log_3\log_{64}\frac{716}{179}.\)

Показать решение

Решите неравенство \((4^x - 7 \cdot 2^{x} + 12) \cdot \sqrt{3^{x + 1} - 1} \leqslant 0.\)

Показать решение

Решите уравнение \(\cos 3x = \cos x + \sqrt{3} \sin x.\)

Показать решение

Найдите площадь фигуры, состоящей из точек \((x, y)\) координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению \( |2y - x| + 2|y + 4| + |x| = 8.\)

Показать решение

Окружность касается сторон \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) в точках \(K\) и \(L\), соответственно, и пересекает сторону \(AC\) в точках \(M\), \(N\) (точка \(M\) лежит между точками \(A\) и \(N\)). Найдите радиус этой окружности, если известно, что \(AM = 1\), \(NC = 3\), \(AK:KB = 2:1\) и \(BL:LC = 1:4.\)

Показать решение

Определите, при каких значениях параметра \(a\) уравнение \( a\sqrt{\mathstrut {x + y}} = \sqrt{2x} + \sqrt{3y} \) имеет единственное решение \((x, y)\).

Показать решение

В основании пирамиды лежит правильный треугольник \(ABC\) со стороной \(5.\) Боковые ребра \(AS\), \(BS\) и \(CS\) пирамиды равны соответственно \(7\), \(7\) и \(3.\) Прямой круговой цилиндр расположен так, что окружность его верхнего основания имеет ровно одну общую точку с каждой из боковых граней пирамиды, а окружность нижнего основания лежит в плоскости \(ABC\) и касается прямых \(AC\) и \(BC.\) Найдите радиус основания цилиндра.

Показать решение

Старший коэффициент квадратного трехчлена \(f(x)\) равен 2. Один из его корней равен \(\frac 52.\) Найдите второй корень, если известно, что \(f(0) = 3\).

Показать решение

Вычислите \(\log_{12}3 \cdot \log_{9} 12.\)

Показать решение

Решите неравенство \(9 \cdot \left(1 + 5^{1 - 2x}\right)^{-\frac 12} - \frac 12 \cdot \left( 5^{2x} + 5 \right)^{\frac 12} \geqslant 6^{\frac 12} \cdot 5^{\frac x2}.\)

Показать решение

Решите уравнение \(\frac{\sin 5x}{\sin x} - \frac{\cos 5x}{\cos x} = \frac{\sin x}{\sin 5x} - \frac{\cos x}{\cos 5x}\).

Показать решение

В 14:00 из села Верхнее вниз по течению реки в сторону села Нижнее отправился катер «Быстрый». Когда до Нижнего оставалось плыть 500 метров ему навстречу из Нижнего вышел катер «Смелый». В этот же самый момент «Быстрый», не желая встречи со «Смелый», развернулся и пошел обратно к Верхнему. В 14:14, когда расстояние по реке от «Быстрый» до Верхнего сравнялось с расстоянием по реке от «Смелый» до «Быстрый», на «Смелый» осознали, что идут с «Быстрый» на одинаковой скорости, развернулись и направились обратно к Нижнему. В исходные пункты катеры вернулись одновременно в 14:18. Найдите расстояние по реке между Верхним и Нижним, если известно, что оба катера движутся равномерно и с одинаковой собственной скоростью.

Показать решение

Трапеция \(ABCD\) вписана в окружность радиуса \(R\) и описана около окружности радиуса \(r\). Найдите \(r\), если \(R = 12\), а косинус угла между диагональю \(AC\) и основанием \(AD\) равен \(3/4.\)

Показать решение

В основании прямой призмы \(ABCA'B'C'\) лежит прямоугольный треугольник \(ABC\), такой что \(AC = BC = 1.\) На ребре \(A'B'\) верхнего основания (параллельном \(AB\)) отмечена точка \(D\), так что \(A'D:DB' = 1:2.\) Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр \(ABC'D\), если высота призмы равна 1.

Показать решение

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \(\sin \left(x + \frac ax \right) = x + 1 \) имеет бесконечно много решений.

Показать решение

Старший коэффициент \(\href{https://examp.info/onedef/kvadratnyj-tryohchlen/}{\text{квадратного трехчлена }}\)\(f(x)\) равен 3. Один из его корней равен \(\frac 43\). Найдите второй корень, если известно, что \(f(0) = -2\).

Показать решение

Вычислите \(\log_{8} 10 \cdot \log_{10} 4\).

Показать решение

Решите неравенство \(15 \cdot \left(4 + 4^{-2x}\right)^{-\frac 12} - \left( 4^{1 + 2x} + 1 \right)^{\frac 12} \geqslant 20^{\frac 12} \cdot 4^{\frac x2}\).

Показать решение

Решите уравнение \(\frac{\cos 3x}{\sin 2x} + \frac{\sin 3x}{\cos 2x} = \frac{\sin 2x}{\cos 3x} + \frac{\cos 2x}{\sin 3x}\).

Показать решение

От биостанции до границы заповедника вверх по реке ровно 14 км. В 7:00 браконьеры вошли на катере в заповедник и направились в сторону биостанции. Через некоторое время им навстречу с биостанции вышел катер рыбинспекции. Браконьеры тут же развернулись и направились обратно к границе заповедника. В 7:38, когда браконьеры оказались ровно посередине между рыбинспекторами и границей, рыбинспекторы осознали, что они идут с браконьерами на одинаковой скорости, развернулись и направились обратно на биостанцию. До биостанции они добрались ровно в тот момент, когда браконьеры выехали за пределы заповедника &mdash; в 7:50. Найдите наименьшее расстояние, на котором находились браконьеры и рыбинспекторы, если известно, что оба катера движутся равномерно и с одинаковой собственной скоростью.

Показать решение

Трапеция \(ABCD\) вписана в окружность радиуса \(R\) и описана около окружности радиуса \(r\), причем \(R = 2r\). Найдите среднюю линию трапеции, если диагональ \(AC\) равна \(4\).

Показать решение

В основании прямой призмы \(ABCA'B'C'\) лежит прямоугольный треугольник \(ABC\), такой что \(AC = BC = 1\). На ребре \(A'C'\) верхнего основания (параллельном \(AC\)) отмечена точка \(D\), так что \(A'D:DC' = 2:1\). Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр \(AB'CD\), если высота призмы равна 1.

Показать решение

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \( \sin \left(x - a \ln |x| \right) = x + 1 \) имеет бесконечно много решений.

Показать решение

Старший коэффициент квадратного трехчлена \(f(x)\) равен -2. Один из его корней равен \(\frac 32\). Найдите второй корень, если известно, что \(f(0) = 1\).

Показать решение

Вычислите \(\log_{5} 27 \cdot \log_{9} 5\).

Показать решение

Решите неравенство \(\frac 92 \cdot \left(1 + 2^{1 - 2x}\right)^{-\frac 12} - \frac 12 \cdot \left( 2^{2x} + 2 \right)^{\frac 12} \geqslant 3^{\frac 12} \cdot 2^{\frac x2}\).

Показать решение

Решите уравнение \(\frac{\sin 3x}{\sin x} + \frac{\cos 3x}{\cos x} = \frac{\sin x}{\sin 3x} + \frac{\cos x}{\cos 3x}\).

Показать решение

В 15:00 из пункта А, двигаясь против течения реки в сторону пункта Б, вышел катер «Первый», а навстречу ему из пункта Б отправился катер «Второй». В 15:12 путь, пройденный «Второй», стал равен расстоянию между катерами. В этот момент «Первый» развернулся и пошел обратно к пункту А. «Второй» продолжал двигаться за «Первый» до тех пор, пока «Первый» не прибыл в пункт А. В этот момент расстояние от «Второй» до А равнялось 1.6 км. Развернувшись, «Второй» сразу же отправился обратно в пункт Б, куда и прибыл в 15:49. Чему равно расстояние по реке между пунктами А и Б?

Показать решение

Трапеция \(KLMN\) вписана в окружность радиуса \(R\) и описана около окружности радиуса \(r\). Найдите \(r\), если \(R = 20\), а косинус угла между диагональю \(KM\) и основанием \(KN\) равен \(4/5\).

Показать решение

В основании прямой призмы \(KLMK'L'M'\) лежит прямоугольный треугольник \(KLM\), такой что \(KM = LM = 1\). На ребре \(K'L'\) верхнего основания (параллельном \(KL\)) отмечена точка \(N\), так что \(K'N:NL' = 1:3\). Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр \(KLM'N\), если высота призмы равна 1.

Показать решение

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \( \cos \left(x - \frac ax \right) = x - 1 \) имеет бесконечно много решений.

Показать решение

Старший коэффициент квадратного трехчлена \(f(x)\) равен \(-3\). Один из его корней равен \(\frac 73\).
Найдите второй корень, если известно, что \(f(0) = 4\).

Показать решение

Вычислите \(\log_{16} 6 \cdot \log_{6} 8\).

Показать решение

Решите неравенство \(12 \cdot \left(3 + 3^{-2x}\right)^{-\frac 12} - \left( 3^{1 + 2x} + 1 \right)^{\frac 12} \geqslant 4 \cdot 3^{\frac x2}\).

Показать решение

Решите уравнение \(\frac{\cos 4x}{\sin 3x} - \frac{\sin 4x}{\cos 3x} = \frac{\sin 3x}{\cos 4x} - \frac{\cos 3x}{\sin 4x}\).

Показать решение

От биостанции до границы заповедника вниз по реке ровно 8 км. В 8:00 браконьеры вошли на катере в заповедник и направились в сторону биостанции. В это же время им навстречу с биостанции вышел катер рыбинспекции. Через 6 минут, когда рыбинспекторы были ровно посередине между биостанцией и браконьерами, браконьеры заметили катер рыбинспекции, тут же развернулись и направились обратно к границе заповедника. Когда браконьеры достигли границы, рыбинспекторы с чувством выполненного долга развернулись и отправились обратно на биостанцию, куда прибыли в 8:25. Найдите наименьшее расстояние, на котором находились браконьеры от рыбинспекторов, если известно, что оба катера движутся равномерно и с одинаковой собственной скоростью.

Показать решение

Трапеция \(KLMN\) вписана в окружность радиуса \(R\) и описана около окружности радиуса \(r\), причём \(R = \frac{3r}{2}\). Найдите среднюю линию трапеции, если диагональ \(KM\) равна \(3\).

Показать решение

В основании \(\href{https://examp.info/onedef/prizma/}{\text{прямой призмы}}\) \(KLMK'L'M'\) лежит прямоугольный треугольник \(KLM\), такой что \(KM = LM = 1\). На ребре \(K'M'\) верхнего основания (параллельном \(KM\)) отмечена точка \(N\), так что \(K'N:NM' = 3:1\). Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр \(KL'MN\), если высота призмы равна 1.

Показать решение

Найдите все значения параметра \( a \), при которых уравнение
\[
\cos(2 + a\ln|x|) = x - 1
\]
имеет бесконечно много решений.

nepreryvnyh-funkcij

Показать решение

Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением \(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} \cdot \left(8 + 4\sqrt{3} \right)\).

Показать решение

Найдите максимальное значение функции \(\log_{1/2} (x^2 - 6x + 17)\).

Показать решение

Найдите все положительные \(x\), удовлетворяющие неравенству \(x^{3x + 7} > x^{12}.\)

Показать решение

Решите уравнение \(\cos^2 x - \cos x \cdot \sin^2 \left( \dfrac{5x}{4} - \dfrac{5\pi}{12} \right) + \dfrac 14 = 0.\)

Показать решение

Окружности \(\Omega_1\) и \(\Omega_2\) с центрами в точках \(O_1\) и \(O_2\) касаются внешним образом в точке \(A\). Общая внешняя касательная к этим окружностям касается \(\Omega_1\) и \(\Omega_2\) соответственно в точках \(B_1\) и \(B_2\). Общая касательная к окружностям, проходящая через точку \(A\), пересекает отрезок \(B_1B_2\) в точке \(C.\) Прямая, делящая угол \(ACO_2\) пополам, пересекает прямые \(O_1B_1, O_1O_2, O_2B_2\) в точках \(D_1, L, D_2\) соответственно. Найдите отношение \(LD_2:O_2D_2\), если известно, что \(CD_1 = CO_1.\)

Показать решение

Найдите все положительные \(x\) и \(y\), удовлетворяющие системе уравнений \( \left\{ \begin{array}{l} x^{\frac 32} + y = 16, \\ x + y^{\frac 23} = 8. \end{array} \right. \)

Показать решение

В основании \(\href{https://examp.info/onedef/prizma/}{\text{прямой призмы}}\) лежит правильный треугольник со стороной 1. Высота призмы равна \(\sqrt{2}.\) Найдите расстояния между \(\href{https://examp.info/onedef/skreshivayushiesya-pryamye/}{\text{скрещивающимися}}\) диагоналями боковых граней.

Показать решение

Пусть \[\begin{array}{ccr} f(x, y) & = & \sqrt{-6x^2 - 14y^2 - 18xy + 6} + y, \\ g(x, y) & = & -\sqrt{-6x^2 - 14y^2 - 18xy + 6} + y. \end{array}\] Найдите все значения, которые может принимать хотя бы одна из этих функций.

Показать решение

Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением \(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} \cdot \left(\sqrt{2} + \sqrt{3} \right)\).

Показать решение

Найдите максимальное значение функции \(\log_{1/3} (x^2 + 4x + 31)\).

Показать решение

Найдите все положительные \(x\), удовлетворяющие неравенству \(x^{-5x -3} < x^{-7}\).

Показать решение

Решите уравнение \(\sin^2 x + \sqrt{2} \cdot |\sin x| \cdot \cos \left( \frac{5x}{2} - \frac{5\pi}{8} \right) + \frac 12 = 0\).

Показать решение