В основании прямой призмы \(ABCA'B'C'\) лежит прямоугольный треугольник \(ABC\), такой что \(AC = BC = 1\). На ребре \(A'C'\) верхнего основания (параллельном \(AC\)) отмечена точка \(D\), так что \(A'D:DC' = 2:1\). Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр \(AB'CD\), если высота призмы равна 1.

Решение

Обозначим объём тетраэдра \(AB'CD\), площадь его поверхности и радиус вписанной в него сферы, соответственно, как \(V, S, r\). Тогда \(V = \frac{1}{3}rS\) (как сумма \(\href{https://examp.info/theorem/obyom-tetraedra/}{\text{объёмов тетраэдров}}\), у которых основания это боковые грани, а вершина в центре вписанной сферы). Объём тетраэдра \(AB'CD\) равен объёму тетраэдра\(ABCD\) так как расстояние от точки \(B'\) до плоскости основания такое же как и расстояние от точки \(B\), так как \(BB'||AA'\). Стало быть, \(V = \frac{1}{6}\) (высота призмы - 1, площадь треугольника \(ABC\) равна \(\frac{1}{2}\)). И получаем\[
r = (2S)^{-1}.
\]Найдём S. Обозначим площади граней тетраэдра \(AB'CD\) стандартным образом через \(S_{AB'D}, S_{AB'C}, S_{ADC}, S_{B'DC}\). Площади треугольников \(ACD\) и \(ACA'\) равны, так как основания и высоты равны, поэтому \(S_{ACD} = S_{ACA'} = \frac{1}{2}AC\cdot AA' = \frac{1}{2}1\cdot 1 = \frac{1}{2}\). Далее рассмотрим треугольник \(AB'C\), \(AC\) перпендикулярно \(CC'\) и \(BC\), следовательно, так как \(B'C\) лежит в той же плоскости, как и два перечисленных выше отрезка, он перпендикулярен \(AC\), поэтому \(B'C - \) высота и равен \(\sqrt{2}\) по \(\href{https://examp.info/theorem/pifagora/}{\text{теореме Пифагора}}\). Следовательно \(S_{AB'C} = \frac{\sqrt2}{2}\).

Чтобы найти \(S_{AB'D}\), обозначим через \(\lambda\) отношение \(A'D\) к \(A'C'\). По условию \(\lambda = \frac{2}{3}\). Найдём косинус угла \(varphi\) между нормалью к плоскости \(ADB'\) и прямой \(AA'\). Проведём через точку \(A'\) прямую, параллельную \(C'B'\), и обозначим точку пересечения этой прямой с прямой \(C'D\) через \(E\). Поскольку треугольники \(A'DE\) и \(C'B'D\) \(\href{https://examp.info/onedef/podobnye-treugolniki/}{\text{подобны}}\) (вертикальные углы равны и \(C'B'||A'E\)) и \(A'D:DC' = \frac{\lambda}{1 - \lambda}\), получаем, что \(A'E = \frac{\lambda}{1-\lambda}\). Стало быть, в системе координат с началом в точке \(A'\) и осями \(AA', A'C', A'E\) \(\href{https://examp.info/theorem/uravnenie-ploskosti/}{\text{вектор нормали}}\) к плоскости \(ADB'\) может быть записан как \((1, \frac{1}{\lambda}, \frac{1-\lambda}{\lambda})\)(так как для \(A, D, E\), соответственно поучаем \(a\cdot 1 = 1, b\cdot \lambda = 1, c\cdot \frac{\lambda}{1-\lambda} = 1\)). Вектор же \(AA'\) имеет вид (1, 0, 0). \(\href{https://examp.info/onedef/skalyarnoe-proizvedenie/}{\text{Следовательно}}\):\[
\cos\varphi = \frac{\left(\left(1, \frac{1}{\lambda}, \frac{1-\lambda}{\lambda}\right),(1, 0, 0)\right)}{\sqrt{1 + \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 + \left(\frac{1}{\lambda} - 1\right)^2}} = \frac{\lambda}{\sqrt{\lambda^2 + 1 + 1 - 2\lambda + \lambda^2}} = \frac{\lambda}{\sqrt{2\lambda^2 - 2\lambda + 2}}
\] Площадь треугольника \(A'DB'\) относится к площади треугольника \(A'B'C'\), как \(\lambda\) (так как основания имеют такое же отношение), то есть она равна \(\frac{\lambda}{2}\). \(\href{https://examp.info/theorem/o-svyazi-ploshadi-secheniya-i-ploshadi-proekcii/}{\text{Стало быть}}\):\[
S_{ADB'} = \frac{\lambda}{2\cos\varphi} = \frac{1}{2}\sqrt{2\lambda^2 - 2\lambda + 2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{14}{9}}.
\]Площадь \(CDB'\) можно найти аналогичным способом (\(\psi -\)угол между \(CC'\) и нормалью, три перпендикуляра \(CC', C'B', C'D\)), но здесь вектор нормали будет равен \((1, 1, \frac{1}{1-\lambda})\) и \(S_{C'B'D} = (1 - \lambda)S_{A'B'С'} = \frac{1 - \lambda}{2}\), получаем:\[
\cos{\psi} = \frac{1 - \lambda}{\sqrt{2(1-\lambda)^2 + 1}} \Rightarrow S_{C'B'D} = \frac{1 - \lambda}{2\cos\psi} = \frac{1}{2}\sqrt{2(1-\lambda)^2 + 1} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{11}{9}}
\]Итак,\[
S = S_{ABD} + S_{ACB'} + S_{CDB'} + S_{ADB'} = \frac{1}{2}\left(1 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{11}}{3} + \frac{\sqrt{14}}{3} \right)
\]Остаётся воспользоваться соотношением \(r = (2S)^{-1}\).

Ответ: \(\left(1 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{11}}{3} + \frac{\sqrt{14}}{3} \right)^{-1}\).