Если функция \(f\) выпукла \( (f''(x) \geqslant 0)\) на интервале \(I\), то \(f\left(\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i x_i\right) \leqslant \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i f(x_i), \) где \( \lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_n = 1.\)
Если функция \(f\) вогнута \( (f''(x) \leqslant 0)\) на интервале \(I\), то \( \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i f(x_i) \leqslant f\left(\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i x_i\right),\) …

Показать доказательство

Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна \(180^\circ\) градусам.

Показать доказательство

Пусть \(P_n(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0,\) где \(a_0, a_1, \dots , a_n \) \(-\) данные числа, причем \( a_n \neq 0 \).
Остаток \(R\) от деления многочлена \(P_n(x)\) на двучлен \( x-a\) равен значению многочлена \(P_n(x)\) при \(x=a\), т.е \(R= P_n(a). \)

Показать доказательство

Если \( a \geqslant -1 \), то \( (1 + a)^n \geqslant 1 + na \) для \(\forall n \in \mathbb{N}\).

Показать доказательство

1) Если \(x_1\) и \(x_2\) — корни квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\), то\[\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}, \\
x_1x_2=\dfrac{c}{a}.
\end{array}\right.\]

2) Если \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\) — корни кубического уравнения \(ax^3+bx^2+cx+d=0\), то\[\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a}, \\
x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{c}{a}\\
x_1x_2x_3=-\dfrac{d}{a}.
\end{array}\right.\]

Показать доказательство

\(y^2=2px\) -каноническое уравнение параболы.

Показать доказательство

\(\textbf{Теорема}\) Пусть в декартовой системе координат векторы \(\overrightarrow a,\) \(\overrightarrow b\) имеют координаты \((x_1,y_1)\) и \((x_2,y_2)\) соответственно. Тогда \[
(\overrightarrow a, \overrightarrow b)=x_1x_2+y_1y_2.
\]

\(\textbf{Замечание}\) В пространстве формула будет иметь вид \[
(\overrightarrow a, \overrightarrow b)=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2,\]где \((x_1,y_1,z_1)\) и \((x_2,y_2,z_2)\) - координаты векторов \(\overrightarrow a,\) \(\overrightarrow b\) соответственно.

Показать доказательство

Пусть функции \(f(x)\) и \(g(x)\) непрерывны на отрезке \([a, b]\) и имеют производные на интервале \((a, b)\), одновременно не обращающиеся в ноль. При этом \(g(b)-g(a)\neq 0\) (что следует из условия \(g'(x) \neq 0\)). Тогда на интервале \((a, b)\) найдётся точка \(c\), для которой выполняется неравенство
\begin{equation*}
\frac{f(b) - f(a)}{g(b)-g(a)}= \frac{f'(c)}{g'(c)}
\end{equation*}
причём \(a<c<b\).

Показать доказательство

Ряд \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n\) сходится тогда и только тогда, когда для любого \(\varepsilon > 0\) существует такой номер \(N\),

что для всех \(m > n > N\) выполняется \(\left| a_{n+1} + a_{n+2} + \ldots + a_m \right| < \varepsilon\).

Показать доказательство

Пусть функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\) и имеет производную на интервале \((a, b)\). Тогда существует на интервале \((a, b)\) точка \(c\), для которой выполняется равенство
\begin{equation}
f(b) - f(a) = (b-a)f'(c) \label{eq:eq1} \quad (1)
\end{equation}
причём \(a<c<b\).

Показать доказательство

Если \(m\) \(-\) простое число и \(a\) \(-\) взаимно простое число к \(m\), тогда \(a^{m - 1} \equiv 1 \pmod m\).

Показать доказательство

Если на сторонах \(AB\), \(BC\) и \(AC\) (или их продолжениях) взяты соответственно точки \(C_1\), \(A_1\) и \(B_1\), то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
\[\dfrac{\overline{AB_1}}{\overline{B_1C}} \cdot \dfrac{\overline{CA_1}}{\overline{A_1B}} \cdot \dfrac{\overline{BC_1}}{\overline{C_1A}} = 1.\ \quad (1)\]

Показать доказательство

Неравенства о средних гласят
\begin{gather*}
\min\{x_1,\ldots,x_n\} \stackrel{(1)}{\leqslant} \dfrac{n}{\frac{1}{x_1}+\ldots+\frac{1}{x_n}}\stackrel{(2)}{\leqslant} \sqrt[n]{x_1\ldots x_n}\stackrel{(3)}{\leqslant} \dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}\stackrel{(4)}{\leqslant} \\ \sqrt{\dfrac{x_2^2+\ldots+x_n^2}{n}}\stackrel{(5)}{\leqslant} \max\{x_1,\ldots,x_n\},
\end{gather*}
где все \(x_i\), \(i=1,\ldots,n\) неотрицательны. Причем равенства достигаются тогда и только тогда, когда все числа равны.

\(\min\{x_1,...,x_n\}\) — наименьшее из \(n\) чисел.

\(\dfrac{n}{\frac{1}{x_1}+\ldots+\frac{1}{x_n}}\) — среднее гармоническое \(n\) чисел.

\(\sqrt[n]{x_1\ldots x_n}\) — среднее геометрическое \(n\) чисел.
…

Показать доказательство

\[
\sqrt{ab}\leqslant \dfrac{a+b}{2},
\] где \(a\) и \(b\) неотрицательные. Причем равентсво достигается тогда и только тогда, когда \(a=b\). Напомним,
\begin{gather*}
\dfrac{a+b}{2} \text{ — среднее арифметическое чисел \(a\) и \(b\)},
\\
\sqrt{ab} \text{ — среднее геометрическое чисел \(a\) и \(b\)}.
\end{gather*}

Показать доказательство

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту
\[ V = \frac{1}{3}Sh. \]

Показать доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Показать доказательство

Если треугольник имеет стороны \(a\), \(b\), \(c\) и \(a^2 + b^2 = c^2\), то у него угол, противолежащий стороне \(c\), прямой.
Теорема является утверждением, обратным к \(\href{https://examp.info/theorem/pifagora/}{\text{теореме Пифагора}}\).

Показать доказательство

Площадь боковой поверхности \(\href{https://examp.info/onedef/konus/}{\text{конуса}}\) равна произведению высоты конуса на длину окружности, радиус которой равен длине серединного перпендикуляра, проведённого из точки на оси конуса к его образующей:
\[ S_{\text{бок}} = 2\pi rH.\]

Показать доказательство

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению его высоты на длину окружности, радиус которой равен серединному перпендикуляру, проведенному из точки оси конуса к его образующей.
\[ S_{\text{бок}} = 2\pi rh.\]

Показать доказательство

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению высоты цилиндра на длину окружности, радиус которой равен длине серединного перпендикуляра, проведенного из точки оси цилиндра к его образующей.

Показать доказательство

Площадь сферы радиуса \(R\) вычисляется по следующей формуле:
\[ S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2. \]

Показать доказательство

Площадь шарового пояса равна:
\[ S_{\text{шар.пояса}} = 2\pi Rh, \]
где \(R\) \(-\) радиус шара, \( h \) \(-\) высота шарового пояса.

Показать доказательство

Пусть заданы два положительных ряда \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n\) и \( \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n\). Если при условии \( \forall n \in \mathbb {N}, \, v_n \neq 0\,\) существует предел \[\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=K,\]
где \( 0 < K < \infty\), то ряды \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n\) и \( \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n\) сходятся либо расходятся одновременно.

Показать доказательство

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Показать доказательство

Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Показать доказательство

Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости \(\href{https://examp.info/onedef/perpendikulyarnye-ploskosti/}{\text{перпендикулярны}}\).

Показать доказательство

Если \(\forall n \quad a_n \leqslant b_n \) и \(\sum\limits_{n=1}^\infty{b_n}\) \(-\) сходится, то \(\sum\limits_{n=1}^\infty{a_n}\) \(-\) сходится.

Показать доказательство

\(\textit{Принцип наименьшего времени Ферма:}\) Для данных точек \(A\) и \(B\) и данной прямой \(l\) из всех точек \(L\in l\) сумма \(AL+BL\) будет минимальной, когда углы между прямыми \(AL\) и \(l\), \(BL\) и \(l\) будут равны.

Показать доказательство

Пусть даны две непересекающиеся прямые \(l_1\) и \(l_2\) в пространстве. Точка \(A_1\) лежит на прямой \(l_1\), точка \(A_2\) на прямой \(l_2\). Вектор \(\overrightarrow {a_1}\) — направляющий вектор прямой \(l_1\), \(\overrightarrow {a_2}\) — прямой \(l_2\). Тогда расстояние между прямыми можно найти по формуле\[
p(l_1,l_2)=\dfrac{|([\overrightarrow a_1,\overrightarrow a_2],\overrightarrow{A_1A_2})|}{|[\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2}]|}.
\]Где \((\cdot,\cdot)\) — \(\href{https://examp.info/onedef/skalyarnoe-proizvedenie/}{\text{скалярное произведение}}\) векторов, \([\cdot,\cdot]\) …

Показать доказательство

Расстояние \( h \) от любой точки \( M_0(x_0; y_0; z_0)\) пространства до плоскости равно:
\[ h = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}},\] где \((a;b;c)\) \(-\) координаты вектора нормали \( \vec{n} \) к данной плоскости.

Показать доказательство

Пусть \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([a; b]\) \( \left(f(x) \in C[a; b]\right) \), \(f(x)\) дифференцируема на интервале \((a;b)\) \(\left( f(x) \in D(a; b) \right)\), \( f(a) = f(b) \). Тогда существует точка \( c \in (a; b) \) такая, что \( f'(c) = 0 \).

Показать доказательство

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Это теорема, обратная теореме: \(\href{https://examp.info/theorem/priznak-parallelogramma-o-diagonalyah/}{\text{признак параллелограмма}}.\)

Показать доказательство

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Показать доказательство

Если \( A(x; y; z) \) \(- \) произвольная точка плоскости, \( \vec{n}(a; b; c) \) \(-\) \(\textbf{вектор нормали}\) (вектор, перпендикулярный плоскости), то уравнение плоскости имеет вид:
\[ ax + by + cz + d = 0,\] где \(d\) \(- \) какое-то фиксированное число, зависящее от плоскости.
Важно: \(a^2 + b^2 + …

Показать доказательство

Пусть дано \(\href{https://examp.info/theorem/uravnenie-ploskosti/}{\text{уравнение плоскости}}\) \(\alpha\): \(Ax + By + Cz + D = 0\), и \( A \neq 0, B \neq 0, C \neq 0, D \neq 0 \). Тогда плоскость не проходит через начало координат и не параллельна ни одной из координатных осей, значит, она пересекает каждую из них. …

Показать доказательство

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Показать доказательство

Пусть функция \(y = f(x)\) определена в окрестности точки \(a\). Если в точке \(a\) \(f(x) \in D(a)\) и функция имеет в этой точке \(\href{https://examp.info/onedef/ekstremum/}{\text{локальный экстремум}}\) (минимум или максимум), то \(f'(a) = 0\).

Показать доказательство

В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин больше числа рёбер на \(2\).

Показать доказательство

1. Для любой \(\href{https://examp.info/onedef/arifmeticheskaya-progressiya/}{\text{арифметической прогрессии}}\) её \(\mathbf{n-}\)й член \(\mathbf{a_n}\) выражается через ее первый член \(\mathbf{a_1}\) и разность этой прогрессии \(\mathbf{d}\) при помощи формулы \(\mathbf{a_n = a_1 + (n - 1)d,}\) называемой формулой \(\mathbf{n-}\)го члена арифметической прогрессии.

2. Любой член арифметической прогрессии, кроме первого, есть среднее арифметическое предшествующего и последующего членов. …

Показать доказательство

\(\textbf{Свойства \(\href{https://examp.info/onedef/arksinus/}{арксинуса}\) и \(\href{https://examp.info/onedef/arkkosinus/}{арккосинуса}\)}\)
(1) Пусть \(|a|\leqslant 1,\) тогда \(\sin(\arcsin a)=a\) и \(\cos(\arccos a)=a.\)
(2) Пусть \(|a|\leqslant 1,\) тогда \(\arcsin(-a)=-\arcsin a,\) \(\arccos(-a)=\pi-\arccos a.\)
(3) Пусть \(\alpha\in \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right],\) тогда \(\arcsin (\sin \alpha)=a.\)
(4) Пусть \(\alpha\in \left[0;\pi\right],\) тогда \(\arccos (\cos \alpha)=a.\)
(5) Пусть \(|a|\leqslant 1,\) \(\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi}{2}.\)

Показать доказательство

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Показать доказательство

\(\textbf{Алгебраические.}\)

1. \(|\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}|=0\), а также \(|\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}|=0\) (в случае \(\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}\))

2. \(|\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}|=-|\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}|\)

3. \(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}|+|\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}|\)

4. \(|\mu \cdot \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a},\mu \cdot \overrightarrow{b}|=\mu \cdot |\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}|\)

5. Для единичных векторов декартовой СК отметим:

\(|\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}|=\overrightarrow{k}\), \(|\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}|=\overrightarrow{i}\), \(|\overrightarrow{k},\overrightarrow{i}|=\overrightarrow{j}\).

\(\textbf{Геометрические.}\)

6. Модуль векторного произведения \(|\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}|\) численно равен площади параллелограмма, построенного на …

Показать доказательство

Сумма \(n\) членов \( \href{https://examp.info/onedef/geometricheskaya-progressiya/}{\text{геометрической прогресии}}\) при \(q \neq 1\) вычисляется по формуле:
\[
S_{n}=\dfrac{b_{1}(1−q^{n})}{1−q}.
\]

Показать доказательство

\(\textbf{Теорема косинусов}\) Пусть дан треугольник \(\triangle ABC.\) Положим \(AB=c,\) \( BC=a,\) \( CA=b.\) Обозначим угол между векторами \( \overrightarrow{ AB},\) \( \overrightarrow {AC}\) через \(\phi.\) Тогда имеет место равенство
\[
a^2=b^2+c^2-2bc\cos\phi.
\]
\(\textbf{Замечание}\) Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора. Действительно, если угол между векторами \(\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}\) равен \(\frac{\pi}{2},\) то равентво можно переписать …

Показать доказательство

Квадрат площади каждой грани тетраэдра равен сумме квадратов площадей трех остальных граней без удвоенных попарных произведений площадей этих граней на косинусы двугранных углов между этими плоскостями, т. е.
\[S_0^2 = S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 - 2S_1S_2\cos \alpha_{12} - 2S_1S_3 \cos \alpha_{13} - 2S_2S_3 \cos \alpha_{23},\]
где \(S_i, i = 0, …

Показать доказательство

\(\textbf{Теорема}\) (косинусов для трехгранного угла) Для трехгранного угла, плоские углы которого равны \(\alpha, \beta, \gamma\) и двугранный угол при ребре, противолежащем плоскому углу \(\gamma,\) равен \(\varphi,\) имеет место следующая зависимость\[
\cos\varphi=\frac{\cos \gamma -\cos\alpha\cos \beta}{\sin\alpha\sin\beta}.
\]
\(\textbf{Частный случай}\) Если \(\varphi=\frac{\pi}{2},\) то соотношение примет вид:\[
\cos\gamma =\cos\alpha\cos\beta
\] - аналог теоремы Пифагора для трехгранных углов с прямым …

Показать доказательство

Пусть \(a > 0, a \neq 1, b > 0, M > 0, N > 0, \gamma - \text{действительно}\), тогда:

\(0.1)\) \(a^{\log_a b} = b.\)

\(0.2)\) \(\log_a a=1.\)

\(1)\) \(\log_a (M\cdot N) = \log_a M + \log_a N.\)

\(2)\) \(\log_a \left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N.\)

\(3.1)\) \(\log_a M^\gamma …

Показать доказательство

Рассмотрим многочлен \(P_n(x)=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n=\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i\).

Хотим разложить многочлен \(P_n(x)\) по степеням \((x-a)\):

\(P_n(x)=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+...+a_nx^n=b_0(x-a)^0+b_1(x-a)^1+b_2(x-a)^2+...+b_n(x-a)^n\), иначе \(P_n(x)=\sum\limits_{i=0}^n b_i(x-a)^i\).

Наша задача \(-\) найти коэффициенты \(b_0,b_1,b_2,...,b_n=b_i\).

Найдем общий алгоритм.

Очевидно, при подстановке \(a\) вместо переменной \(x\) в многочлен \(P_n(x)=\sum\limits_{i=0}^n b_i(x-a)^i\) получим \(P_n(a)=b_0\).

Продифференцируем \(P_n(x)=b_0(x-a)^0+b_1(x-a)^1+b_2(x-a)^2+b_3(x-a)^3+...+b_n(x-a)^n\) по \(x\):

\(P_n'(x)=1\cdot b_1+2\cdot b_2(x-a)^1+3\cdot b_3(x-a)^2+...+n\cdot b_n(x-a)^{(n-1)}\).

…

Показать доказательство

\(\textit{Локальные свойства (то есть свойства в точке):}\)

1. если \(f(x)\), \(g(x)\) - непрерывны в точке \(x=x_0\), то и \(f(x)\pm g(x)\) также непрерывны в точке \(x_0\).

2. \(f(x)\cdot g(x)\).

3. \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\).

Показать доказательство

Рассмотрим общие характеристики непрерывных функций на \([a, b]\).
Функция \(f\) принадлежит классу \(C[a, b]\), если она непрерывна в каждой точке отрезка \([a, b]\).

1. \(f \in C[a, b] \implies f\) ограничена на отрезке \([a, b]\).

2. \(f \in C[a, b] \implies \exists c, d \in [a, b] \ \forall x …

Показать доказательство

Для любого натурального числа \(n\) и любых действительных чисел \(a\) и \(b\) справедлива формула, называемая \(\textbf{формулой бинома Ньютона}\):
\[(a+b)^n=C_n^0\cdot a^n+C_n^1\cdot a^{n-1}b^{1}+C_n^2\cdot a^{n-2}b^{2}+\ldots+C_n^{n-2}\cdot a^2b^{n-2}+C_n^{n-1}\cdot a^1b^{n-1}+C_n^{n}\cdot b^{n},\] где \(С^k_n\) \(-\) число сочетаний из \(n\) по \(k\).

Показать доказательство

\[e^{{z_1}+{z_2}} = e^{z_1}e^{z_2}\]

Показать доказательство

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
(Другими словами это можно сказать так: вписанный угол в два раза меньше центрального угла той дуги, на которую он опирается.)

Показать доказательство

Последовательность \(x_n = \Big(1+\dfrac{1}{n}\Big)^{n}\) имеет предел равный числу e.

Показать доказательство

Пусть для функций \(f:E\rightarrow \mathbb{R},\ g:E\rightarrow \mathbb{R}\) и \(h:E\rightarrow \mathbb{R},\) на множестве \(E\) выполнено \[f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x),\]а также \[\exists \underset {x\to x_{0}} {\lim} f(x)=A,\ \exists \underset {x \to x_{0}} {\lim} h(x)=A.\]Тогда \[\exists \underset {x \to x_{0}} {\lim}g(x)=A.\]

Показать доказательство

Пусть \(f(x)\) непрерывна на \([a,b]\). Тогда \(\Phi(x) = \displaystyle \int \limits_a^x f(t)dt\) дифференцируема на \((a,b)\), и \(f(x)=\Phi'(x)\).

Показать доказательство

Произведение отрезков секущей равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки.
Иными словами, если через точку \(M\) проведены секущая, пересекающая окружность в точках \(A\) и \(B\), и касательная \(MK\) (\(K\) \(-\) точка касания), то \[MA \cdot MB = MK^2.\]

Показать доказательство

Пусть выполнены следующие условия:
\(\phi(x)\in C^2(\mathbb{R}), \ \psi(x)\in C^1(\mathbb{R}) \ \text{при} \ n=1\). Тогда решение \(\href{https://examp.info/onedef/zadacha-koshi-dlya-volnovogo-uravneniya/}{\text{задачи Коши}}\) существует и единственно, выражается формулой Даламбера
\[u(x,t) = \frac{1}{2}\left[ \phi(x-at) + \phi(x+at)\right] + \frac{1}{2a}\int \limits_{x-at}^{x+at} \psi(\xi)\,d\xi\]

Показать доказательство

Функции \[y_k(x) = e^{\lambda_k x}, \quad k = 1, \ldots, n. \tag{1}\]
при условии, что все корни \(\href{https://examp.info/onedef/harakteristicheskoe-mnogochlen-i-harakteristicheskoe-uravnenie/}{\text{характеристического многочлена}}\) \(\lambda_k\) — простые, образуют \(\href{https://examp.info/onedef/fundamentalnaya-sistema-reshenij/}{\text{фундаментальную систему решений}}\) однородного дифференциального уравнения порядка \(n\) с постоянными коэффициентами \[Ly \equiv y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \dots + a_n y = 0, \quad a_i = …

Показать доказательство

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Показать доказательство

Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ей в отношении 2:1.

Показать доказательство

Пусть функция \( y = f(x) \) непрерывна на отрезке \([a, b]\). Тогда существуют такие точки \( c, d \), принадлежащие этому отрезку, что \( f(c) = M \), \( f(d) = m \).

Показать доказательство

Длину дуги гладкой кривой можно вычислить, используя определённый интеграл. Вид интеграла зависит от способа задания кривой.

Показать доказательство

Если ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) сходится, то его общий член \(a_n\) стремится к нулю, т.е. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0\).

Показать доказательство

Пусть \( a = (a_1, \dots, a_n) \) и \( b = (b_1, \dots, b_n) \) — векторы из \( \mathbb{R}^n \). Тогда
\[
\left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \leqslant\left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right),
\]
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы \( a \) и \( b \) …

Показать доказательство

Если данный ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из данного посредством некоторой перестановки членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и данный ряд.

Показать доказательство

Площадь \(\href{https://examp.info/onedef/ploshad-krivolinejnoj-trapecii/}{\text{криволинейной трапеции}}\) можно вычислить с помощью определённого интеграла.

Показать доказательство

Площадь \(\href{https://examp.info/onedef/segment/}{\text{сферического сегмента}}\) вычисляется по следующей формуле:
\[ S_{\text{сегм.}} = 2\pi Rh, \]
где \(R\) \(-\) радиус сферы, \( h \) \(-\) высота сферического сегмента.

Показать доказательство

С помощью циркуля и линейки можно выполнять различные построения геометрических фигур на плоскости. Обсудим некоторые способы построения.

Показать доказательство

Если функция \(f(x)\) имеет предел при \( x \to a \) равный \( A \), и в некоторой проколотой окрестности \( \dot{U}(a) \) точки \( a \) принимает неотрицательные значения, то \( A \geqslant 0 \).

Показать доказательство

Пусть \( \{u_k\} \) и \( \{v_k\} \) — две произвольные последовательности, \( S_k = u_1 + u_2 + \dots + u_k \), и \( n, p \) — два натуральных числа (\( n \geqslant 0, S_0 = 0 \)). Тогда справедливо тождество

\[
\sum_{k=n+1}^{n+p} u_k v_k = \sum_{k=n+1}^{n+p-1} S_k (v_k …

Показать доказательство

Если два равных угла опираются на один и тот же отрезок и вершины углов лежат по одну сторону от отрезка, то через вершины этих углов и концы отрезка можно провести окружность

Показать доказательство

Пусть функция \(f(x,y)\) двух действительных переменных \(x,y\) определена в некоторой окрестности точки \(P(x_{0},y_{0})\) и имеет там частные производные \(f_{x}, f_{y}, f_{xy}, f_{yx}\). Если смешанные производные \(f_{xy}, f_{yx}\) непрерывны в точке \(P\), то они совпадают: \(f_{xy}(P) = f_{yx}(P)\).

Показать доказательство

Формула разложения функции \(f(x)\) в ряд Тейлора в окрестности точки \(a\) с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид:
\[
f(x) = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}.
\]

Формула разложения функции \(f(x)\) в ряд Тейлора в окрестности точки \(a\) с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:
\[
f(x) = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x …

Показать доказательство

Рассмотрим многочлен с целыми коэффициентами:
\[
P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0,
\]
где \(a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0 \in \mathbb{Z}\), и \(a_n \neq 0\).

Если рациональное число \(\frac{p}{q}\), записанное в несократимой форме, является корнем многочлена \(P(x)\), то:

1. \(p\) (числитель) делит свободный член \(a_0\).
2. …

Показать доказательство

Пусть функция \(f(x)\) непрерывна на промежутке \(I\) и имеет производную \(f'(x)\) в каждой точке внутри промежутка \(I\). Тогда:
а) если \(f'(x) > 0\) для каждого \(x\) внутри промежутка \(I\), то функция \(f(x)\) возрастает на промежутке \(I\);
б) если \(f'(x) < 0\) для каждого \(x\) внутри промежутка \(I\), то функция \(f(x)\) убывает на …

Показать доказательство

Любые два интегрирующих множителя связаны соотношением
\[
\mu_{1} = \mu_{0}\varphi(U_{0}),
\]
где \(\varphi\) — непрерывно дифференцируемая и не тождественно равная нулю функция.

Показать доказательство

Площадь сечения можно вычислить по формуле \(S_\text{ceч}=\dfrac{S_\text{пр}}{\cos \varphi},\) где \(S_\text{пр}\) — площадь проекции сечения на плоскость основания фигуры (когда это основание есть (например, в случае пирамиды)), \(\varphi\) — угол между плоскостью сечения и плоскостью основания.

Показать доказательство

Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной.

Показать доказательство

Средняя линяя трапеции MN параллельна основаниям AB и CD и равна их полусумме, то есть \(MN = \frac{AB +CD}{2}\).

Показать доказательство

\(\href{https://examp.info/onedef/srednyaya-liniya-treugolnika/}{\text{Средняя линия треугольника}}\) параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Показать доказательство

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Показать доказательство

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна \(180^{\circ} \cdot(n-2)\).

Показать доказательство

Сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника равна \(360^{\circ}\).

Показать доказательство

Сумма внутренних углов треугольника равна \(180^{\circ}.\)

Показать доказательство

Запишем сумму делителей числа через произведение сумм степеней его простых делителей. Если \( n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \ldots p_k^{\alpha_k} \), то
\[
\sum_{d|n} d = (1 + p_1 + p_1^2 + \ldots + p_1^{\alpha_1})(1 + p_2 + p_2^2 + \ldots + p_2^{\alpha_2}) \ldots (1 + p_k + p_k^2 + \ldots + p_k^{\alpha_k}). …

Показать доказательство

Геометрическая прогрессия называется убывающей, если её общий член \(a_n\) уменьшается с увеличением \(n\). Для убывающей геометрической прогрессии выполняется следующее условие:
\[
|q| < 1
\]
где \(q\) — знаменатель прогрессии.

Сумма первых \(n\) членов убывающей геометрической прогрессии определяется формулой:
\[
S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}
\]
где \(a_1\) — первый член прогрессии, \(q\) — знаменатель …

Показать доказательство

Ряд Дирихле \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^p}\) сходится при p > 1 и расходится при p \(\leqslant 1\) .

Показать доказательство

Пусть функция \(f(x)\) положительна, монотонно убывает при \(x\geqslant 1\) и для всех \(n \in \mathbb {N}\) имеет место равенство \(f(n)=|a_n|\). Тогда числовой ряд \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) сходится абсолютно или расходится одновременно с интегралом \(\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)\,dx, \quad a\geqslant 1.\)

Показать доказательство

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна самой наклонной.

Показать доказательство

Если композицией трех гомотетии является тождественное преобразование плоскости, то их центры лежат на одной прямой или совпадают.

Показать доказательство

Пусть дан ряд \(\sum\limits_{n=1}^\infty{a_{n}}\), где \(a_{n} \in \mathbb{R}\). Если ряд из модулей сходится, то и исходный ряд сходится.

Показать доказательство

Пусть для функций \(f:E\rightarrow \mathbb{R}\) и \(g:E\rightarrow \mathbb{R}\)\[\exists \underset {x\to x_{0}} {\lim} f(x)=A,\ \exists \underset {x \to x_{0}} {\lim} g(x)=B.\]Тогда

1) \(\exists \underset {x \to x_{0}} {\lim}(f(x) \pm g(x))=A \pm B\);
2) \(\exists \underset {x \to x_{0}} {\lim}(f(x) \cdot g(x))=A \cdot B\);
3) \(\exists \underset {x \to x_{0}} {\lim} \dfrac{f(x)}{g(x)}= \dfrac{A}{B}\), если …

Показать доказательство

Если \(\mu_{0}\) — интегрирующий множитель и \(U_{0}(x,y)\) соответствующий ему интеграл, то \(\mu_{1} = \mu_{0}\varphi(U_{0}(x,y))\), где \(\varphi\) — непрерывно дифференцируемая и не тождественно равная нулю функция, также интегрирующий множитель.

Показать доказательство

Если ребро \(SA\) произвольной треугольной пирамиды \(\mathrm{SABC}\) (\(\mathrm{S}\) \(-\) вершина) изменить в \(k\) раз, ребро \(\mathrm{SB}\) \(-\) в \(m\) раз, ребро \(\mathrm{SC}\) \(-\) в \(n\) раз, то есть перейти к пирамиде \(\mathrm{SA_{1}B_{1}C_{1}}\) такой, что \(\mathrm{SA_{1}}=k \cdot \mathrm{SA}, \mathrm{SB_{1}}=m \cdot \mathrm{SB}, \mathrm{SC_{1}}=n \cdot \mathrm{SC}\), то объем пирамиды изменится в \(k m …

Показать доказательство

Градусная мера угла, образованного касательной к окружности и хордой с концом в точке касания, равна половине градусной меры дуги окружности, заключённой внутри этого угла.

Показать доказательство

Если для знакочередующегося ряда \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n\) выполняются два условия:

1. Последовательность \(\{a_n\}\) монотонно стремится к нулю: \(\displaystyle\lim_{{n \to \infty}} a_n = 0\).

2. Последовательность \(\{a_n\}\) монотонно убывает, т.е. \(a_{n+1} \leqslant a_n\) для всех \(n\).

Тогда ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n\) сходится.

Показать доказательство

Объем тетраэдра равен трети произведения площади основания на высоту, проведенную к этому основанию, т.е. \(V = \dfrac{1}{3}Sh.\)

Показать доказательство

В описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны.

Показать доказательство

Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр данной окружности.

Показать доказательство

В \(\href{https://examp.info/onedef/pravilnaya-chetyrehugolnaya-piramida/}{\text{правильной четырехугольной пирамиде:}}\)
Рис. 1:
1. Боковые ребра равны.
2. Боковые грани \(-\) равные друг другу равнобедренные треугольники.
3. \(\href{https://examp.info/onedef/apofema/}{\text{Апофемы}}\) равны.
4. \(\href{https://examp.info/onedef/dvugrannyj-ugol/}{\text{Двугранные углы}}\) между боковыми гранями и плоскостью основания равны.
5. Высота проектируется в центр вписанной окружности.
6. \(\textbf{Боковая поверхность}\) (так называется площадь боковой поверхности) равна произведению полупериметра основания на апофему.
7. Сечения плоскостями, проведенными через …

Показать доказательство

Если одна сторона выпуклого четырёхугольника видна из двух его вершин под равными углами, то этот четырёхугольник можно \(\href{https://examp.info/onedef/vpisannyj-chetyryohugolnik/}{\text{вписать в окружность}}\).

Показать доказательство

1. Если \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\),то Пр\(_{l} \overrightarrow{a}=\) Пр\(_{l} \overrightarrow{b}\).

2. Если \(\overrightarrow{b}=\mu \cdot \overrightarrow{a}\), то Пр\(_{l} \overrightarrow{b}=\) Пр\(_{l} (\mu \cdot \overrightarrow{a})=\) \(\mu \cdot\) Пр\(_{l} \overrightarrow{a}\).

3.Если Пр\(_{l} (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\), то Пр\(_{l} \overrightarrow{a}+\) Пр\(_{l} \overrightarrow{b}\).

Показать доказательство

\(\textbf{Свойства } \href{https://examp.info/onedef/skalyarnoe-proizvedenie/}{\textbf{скалярного произведения}}\)
(1) \((\overrightarrow a, \overrightarrow a)=|\overrightarrow a|^2,\)
(2) если вектoра \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\) перпендикулярны, то \((\overrightarrow a, \overrightarrow b)=0,\)
(3) \((\overrightarrow a, \overrightarrow b)=(\overrightarrow b, \overrightarrow a)\) (коммутативность),
(4) \((\overrightarrow a, \overrightarrow b+\overrightarrow c)=(\overrightarrow a, \overrightarrow b)+(\overrightarrow a, \overrightarrow c)\) (распределительный закон, дистрибутивность относительно сложения),
(5) \((\alpha \overrightarrow a, \overrightarrow …

Показать доказательство

\(\textbf{Свойства сравнений}\)

Пусть \(m\geqslant 2\), тогда справедливы следующие утверждения:

(1) cравнение по модулю \(m\) является отношением эквивалентности (симметрично, рефлексивно и транзитивно);

(2) если \(a\equiv b\pmod m,\) чило \(d\) является делителем \(m,\) то \(a\equiv b \pmod d;\)

(3) если \(a\equiv b\pmod{ m_i},\) \(i=1,\ldots,k,\) то \(a\equiv b \pmod{ \text{НОК} (m_1,m_2, \ldots m_k)}.\)

Показать доказательство

Если \(a,b>0\), то:

Показать доказательство

Пусть \(p\) - полупериметр треугольника, \(S\) - его площадь, \(a,b,c\) - длины сторон. Тогда справедлива \(\textit{формула Герона}\) \[
S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.
\]

Показать доказательство