Пусть функция \(y = f(x)\) определена в окрестности точки \(a\). Если в точке \(a\) \(f(x) \in D(a)\) и функция имеет в этой точке \(\href{https://examp.info/onedef/ekstremum/}{\text{локальный экстремум}}\) (минимум или максимум), то \(f'(a) = 0\).

Доказательство

Рассмотрим, для определенности, случай \(\href{https://examp.info/onedef/ekstremum/}{\text{точки минимума}}\). Тогда для всех \(x \in \dot{U}(a)\) выполняется неравенство \(f(x) > f(a)\) или \(f(x) - f(a) > 0\). Если \(x \in \dot{U}(a)\) и \(x > a\), то
\[
\frac{f(x) - f(a)}{x - a} > 0.
\]
По условию существует производная \(f'(a)\). Значит, существует
\[
f'_{\text{прав}}(a) = \lim_{x \to a+0} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}.
\]
По теореме о \(\href{https://examp.info/theorem/o-predelnom-perehode-v-neravenstvah/}{\text{предельном переходе в неравенствах}}\),
\[
f'_{\text{прав}}(a) \geqslant 0.
\]
Аналогично, при \(x \in \dot{U}(a)\), \(x < a\) выполняется неравенство
\[
\frac{f(x) - f(a)}{x - a} < 0,
\]
поэтому
\[
f'_{\text{лев}}(a) = \lim_{x \to a-0} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \leqslant 0.
\]
Так как \(f'(a) = f'_{\text{лев}}(a) = f'_{\text{прав}}(a)\), должны выполняться неравенства
\[
f'_{\text{прав}}(a) \geqslant 0 \quad \text{и} \quad f'_{\text{лев}}(a) \leqslant 0,
\]
из которых следует доказываемое равенство \(f'(a) = 0\).