Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений вида \(AX=B\). Если определитель квадратной матрицы системы уравнений \(A\) не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится по формуле:

\[x_{i} = \frac{\Delta _{i}}{det A} \text{ },\text{ } i \subset{[1, n]},\]

где \(\Delta _{i} \) - определители матриц, которые получаются из матрицы A …

Показать суть метода

Сначала рассмотрим уравнения вида \(A\sin x+B\cos x=C\) (0), где \(A,B,C\) - данные числа и \(A\cdot B \neq 0.\)

Так как \(A^2+B^2>0\), то, разделив обе части уравнения на число \(\sqrt{A^2+B^2 \neq 0},\) перепишем уравнение в виде
\[a\sin x+b\cos x=c \ \ \ \ \ (1) \]
где \(a=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\), \(b=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\), \(c=\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}\).

Так …

Показать суть метода

Выделение полного квадрата \(-\) это тождественное преобразование, при котором заданный трёхчлен представляется в виде \((a \pm b)^2\) \(-\) суммы или разности квадрата двучлена и некоторого числового или буквенного выражения.

Показать суть метода

Деление многочлена \( A=a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n\) на двучлен \((x-c)\) часто записывают с помощью таблицы-схемы Горнера:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
&a_0&a_1&a_2&…&a_{n-1}&a_n\\
\hline
c&b_0=a_0&b_1=cb_0+a_1&b_2=cb_1+a_2&&b_{n-1}=cb_{n-2}+a_{n-1}&r=cb_{n-1}+a_{n}\\
\hline
\end{array}

Получим: \( P(x)=(b_0x^{n-1}+b_1x^{n-2}+\ldots+b_{n-1})(x-c)+r\).

Показать суть метода

Для любого действительного числа \(a\) верно равенство \(\sqrt{a^2} = |a|\).

Показать суть метода

1) Вынос константы за знак интеграла.

Метод заключается в использовании свойства \( \int \left( C \cdot u \right) \, dx = C \cdot \int u \, dx\), где \(C\) - некоторая константа.

\(\textbf{Пример 1.}\)
\( \int \frac{2}{x} \, dx = 2 \int \frac{1}{x} \, dx = 2 \ln \left| x \right| …

Показать суть метода

Пусть, например, требуется решить неравенство \[(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)>0 \quad (1)\] или \[(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)<0 \quad (2),\] где \(x_1<x_2<x_3\).

Отметим на оси \(Ох\) точки \(x_1, x_2, x_3\).

Рассмотрим многочлен \(A(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\) (3)

Для любого \(x\), находящего справа от \(x_3\), любой двучлен в произведении (3) положителен, так как точка \(x\) находится правее точек \(x_1,x_2,x_3\). Поэтому и \(A(x)>0\) …

Показать суть метода

Математическая индукция — метод математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел.

Показать суть метода

Для любых натуральных чисел \(a\) и \(b\), \( a > b \), имеет место соотношение \( \text{НОД} (a, b) = \text{НОД} (r, b) = \ldots = \text{НОД} (r_n, r_{n - 1}) = r_n \), где \(r_n\) \(-\) последний отличный от нуля остаток в системе:

Показать суть метода

\(\textit{1. Интегрирующий множитель зависит только от \( x \).}\)

Пусть существует такой множитель \( \mu(x, y) = \mu(x) \). Тогда уравнение
\[
\mu(x)P(x, y) \, dx + \mu(x)Q(x, y) \, dy = 0
\]
является уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, когда выполнено условие
\[
\frac{\partial (\mu(x)P(x, y))}{\partial y} = \frac{\partial (\mu(x)Q(x, y))}{\partial x}.
\]
Откуда
\[
\mu(x) …

Показать суть метода

Суть метода неопределённых коэффициентов заключается в следующем. Пусть требуется поделить многочлен:
\[P_n(x)=a_0x^n +a_1x^{n-1} + \ldots+a_{n-1}x+a_n\]
на многочлен
\[T_m(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+ \ldots +b_{m-1}x+b_m\]

где \(n \geqslant m\), \(a_1, \ldots , a_n\) и \(b_0, b_1, \ldots ,b_n\) \(-\) известные числа, причём \(a \neq 0\).

Представим частное \(Q(x)\) и остаток \(R(x)\) в виде: \(Q(x)=c_0x^{n-m}+c_1x^{n-m-1}+...+c_{n-m}\) и …

Показать суть метода

Метод рационализации \(-\) это весьма мощный метод, позволяющий в определённых случаях упростить неравенство и свести его к \(\href{https://examp.info/onedef/racionalnoe-neravenstvo/}{\text{рациональному неравенству}}\), используя следующий факт: если \(f(x)\) \(-\) монотонно возрастающая функция, то разность \(f(a) - f(b)\) совпадает по знаку с разностью \(a-b\).

Показать суть метода

Рассмотрим \(\href{https://examp.info/onedef/diofantovo-uravnenie/}{\text{диофантово уравнение}}\) первой степени \[ax + by = c.\] Если \((a, b) = d \neq 1\) и \(c\) не делится на \(d\), то уравнение не имеет решений.
Если \((a, b) = d \neq 1\) и \(c\) делится на \(d\), то уравнение имеет следующие решения
\[x = x_0 + \dfrac{b}{d}n,\]\[y = y_0 …

Показать суть метода

Уравнение Бернулли \(y’+Py=Qy^n\)решается так же, как и линейное, подстановкой \(y=uv\) или вариацией произвольной постоянной. Уравнение Бернулли приводится к линейному подстановкой \(z=y^{1-n}\).

Показать суть метода

\(\href{https://examp.info/theorem/resheniya-odnorodnyh-differencialnyh-uravnenij-pervogo-poryadka/}{\textbf{Однородное уравнение}}\)

\(\href{https://examp.info/theorem/resheniya-linejnyh-differencialnyh-uravnenij-pervogo-poryadka/}{\textbf{Линейное уравнение}}\)

\(\href{https://examp.info/theorem/resheniya-differencialnyh-uravnenij-bernulli/}{\textbf{Уравнение Бернулли}}\)

\(\href{https://examp.info/theorem/resheniya-differencialnyh-uravnenij-s-razdelyayushimisya-peremennymi-pervogo-poryadka/}{\textbf{Уравнение с разделяющимися переменными}}\)

Показать суть метода

\[
\frac{dy}{dx} = f(x)g(y),
\]

Умножив уравнение на \(\frac{dx}{g(y)}\), получим

\[
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx, \\
&g(y) \neq 0,
\end{aligned}
\right.
\]

\(\Rightarrow\) \(y(x)\) – делаем проверку, подставляя в уравнение.

Далее интегрируем

\[
\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx + C,
\]

откуда находим решение в виде \(y = \varphi(x, C)\) или \(\psi(x, y, C) = 0\).

\(\textit{Замечание.}\)
Общее решение может не …

Показать суть метода

Дифференциальное уравнение называется \(\textbf{линейным}\), если оно первой степени относительно искомой функции \(y\) и всех её производных. Линейное уравнение первого порядка имеет вид \( y’+P(x)y=Q(x)\). Оно сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой \(y=uv\).

Другой способ решения (вариация произвольной постоянной) состоит в том, что сначала решаем уравнение \( y’+Py=0\); получаем …

Показать суть метода

Уравнение \(Pdx+Qdy=0\) называется \(\href{https://examp.info/onedef/odnorodnoe-differencialnoe-uravnenie-first-order/}{\text{однородным}}\), если \(P\) и \(Q\) \(-\) \(\href{https://examp.info/onedef/odnorodnaya-funkciya-stepeni-n/}{\text{однородные функции}}\) от \(x\) и \(y\) одинакового измерения. Оно приводится к виду \(\frac{dy}{dx}=\phi(\frac{y}{x})\) и решается подстановкой \(\frac{y}{x}=u\) или \(y=ux\).

Показать суть метода

Некоторые сложные интегралы можно свести к более простым с помощью данных подстановок.

Показать суть метода

Положим \(t=\mathop{\mathrm{tg}}\left(\frac{x}{2}\right)\) и \(\cos \frac{x}{2}\neq 0.\) Тогда имеют место следующие формулы
\begin{gather*}
\sin x=\frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} \quad \forall t;\\
\mathop{\mathrm{tg}} x=\frac{2t}{1-t^2} \quad t\neq\pm 1.
\end{gather*}
\(\textbf{Замечание.}\) \[\cos\frac{x}{2}=0\Leftrightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Leftrightarrow
x=\pi+2\pi n \Leftrightarrow \cos x=\pm 1.
\]

Показать суть метода