Некоторые сложные интегралы можно свести к более простым с помощью данных подстановок.

Доказательство

1) Если интеграл содержит радикал \( \sqrt{a^2 - x^2} \), то обычно полагают \( x = a \sin t \); отсюда
\[
\sqrt{a^2 - x^2} = a \cos t.
\]

Пример: \(\href{https://examp.info/task/1664/}{\text{№1201}}\).

2) Если интеграл содержит радикал \( \sqrt{x^2 - a^2} \), то полагают \( x = a \sec t \); отсюда
\[
\sqrt{x^2 - a^2} = a \mathop{\mathrm{tg}} t.
\]

Пример: \(\href{https://examp.info/task/1665/}{\text{№1203}}\).

3) Если интеграл содержит радикал \( \sqrt{x^2 + a^2} \), то полагают \( x = a \mathop{\mathrm{tg}} t \); отсюда
\[
\sqrt{x^2 + a^2} = a \sec t.
\]

Пример: \(\href{https://examp.info/task/1666/}{\text{№1205}}\).

Примечание: \(\sec t = \frac{1}{\cos t}\).