Ряд \(\sum\limits_{n=1}^\infty{a_{n}}\) называется \( \textbf{абсолютно сходящимся} \), если ряд \(\sum\limits_{n=1}^\infty{|a_{n}}|\) сходится.

Ряд \(\sum\limits_{n=1}^\infty{a_{n}}\) называется \( \textbf{условно сходящимся} \), если ряд \(\sum\limits_{n=1}^\infty{|a_{n}}|\) расходится, а ряд \(\sum\limits_{n=1}^\infty{a_{n}}\) сходится.

\(\href{https://examp.info/search/?search=Сходимость}{\text{Задачи на сходимость и расходимость рядов.}}\)

Показать определение

Угол, образуемый заданным направлением движения и направлением на север.

Показать определение

В широком смысле под \(\textbf{алгеброй}\) понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множеств произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.

Показать определение

\(\textbf{Аналитическая геометрия}\) \( - \) раздел геометрии, в котором геометрические фигуры и их свойства исследуются средствами алгебры.

Показать определение

\(\textbf{Апофема}\) \(-\) высота боковой грани пирамиды, проведенная из вершины пирамиды.

\(\href{https://examp.info/search/?search=апофема}{\text{Примеры использования апофемы.}}\)

Показать определение

\(\textbf{Арифметической прогрессией}\) называют числовую последовательность, каждый последующий член которой равен предшествующему, сложенному с постоянным для данной последовательности числом. Это число называют разностью арифметической прогрессии.
Таким образом, если числовая последовательность \({a_n}\) есть арифметическая прогрессия, то для нее существует такое число \(d\) \(-\) разность арифметической прогрессии, что \[a_{n + 1} = a_n +d
\] …

Обозначение: \(a_n\).

Показать определение

\(\textbf{Арккосинус}\) числа \(a\) \((|a|\leqslant 1)\) есть угол \(\alpha\) из промежутка \([0;\pi],\) косинус которого равен \(\alpha:\) \[\cos \alpha=a\]

\(\href{https://examp.info/theorem/arksinusa-i-arkkosinusa/}{\text{Свойства}}\)

Обозначение: \(\arccos a\)

Показать определение

\(\textbf{Арксинус}\) числа \(a\) \((|a|\leqslant 1)\) есть угол \(\alpha\) из промежутка \(\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right],\) синус которого равен \(a:\)\[\sin \alpha=a.\]

\(\href{https://examp.info/theorem/arksinusa-i-arkkosinusa/}{\text{Свойства}}\)

Обозначение: \(\arcsin a\)

Показать определение

Функция \(\alpha(x)\) называется \(\textbf{бесконечно малой функцией (БМФ)}\) при \(x \to x_0\), если предел этой функции при \(x \to x_0\) равен 0, т.е. \(\underset {x \to x_{0}} {\lim}\alpha(x)=0\).

Обозначение: \(\alpha (x), \beta (x)\).

Показать определение

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Геометрическую прогрессию
\[ a_1, a_2, \dots, a_n, \dots \]
называют бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1: |q| < 1. Например, геометрическая прогрессия
\[ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots, \frac{1}{2^n}, \dots \]
бесконечно убывающая, потому что модуль её знаменателя меньше 1:
\[ |q| = \frac{1}{2} < 1. \]

Отметим, что …

Показать определение

\( \textbf{Биссектрисой} \) называют такую прямую, которая делит заданный угол пополам.

\(\href{https://examp.info/search/?search=биссектриса}{\text{Примеры использования биссектрисы.}}\)

Показать определение

\(\textbf{Вектором}\) называется направленный отрезок прямой (на плоскости или в пространстве).

По отрезку \(AB\) можно двигаться от точки \(A\) (начало вектора) к точке \(B\) (конец вектора), тогда имеем вектор \(\overrightarrow {AB}\).
Если двигаться от точки \(B\) (начала вектора) к точке \(A\) (конец вектора), то имеем вектор \(\overrightarrow {BA}\).

Вектор, у которого …

Обозначение: \(\vec{a}, \overrightarrow{AB}\). \(|\overrightarrow{0}|=0\)

Показать определение

\(\textbf{Векторным произведением}\) векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) называется такой вектор \(\vec{c}\), что:

1. \(|\vec{c}|=|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin\phi\), где \(\phi\) \(-\) это угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

2. \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) образуют правую тройку векторов, т.е. из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора до второго виден против хода …

Обозначение: \([\vec{a},\vec{b}], \vec{a} \times \vec{b}\).

Показать определение

\(\textbf{Вероятность}\) случайного события \(-\) число от нуля до единицы, являющееся оценкой того, произойдет событие или не произойдет. В простом случае вводится понятие \(\href{https://examp.info/onedef/klassicheskaya-veroyatnost/}{\text{классической вероятности}}\).

Обозначение: P.

Показать определение

Последовательность \(\{a_n\}\) назовем \(\textbf{возрастающей (неубывающей)}\), если \(a_{n+1} > a_n\) (\(a_{n+1}\geqslant a_n\) ) \(\forall n\in \mathbb{N}\).

Обозначение: \(\{a_n\}\).

Показать определение

Функция \(y = f(x)\), определённая на промежутке \(X\), называется \(\textbf{возрастающей}\) на этом промежутке, если для любой пары чисел \(x_1\) и \(x_2\) из этого промежутка из неравенства \(x_1 < x_2\) следует неравенство \[f(x_1) < f(x_2).\]

Показать определение

\(\textbf{Вписанной окружностью}\) называют окружность, которая внутренним образом касается всех сторон заданного многоугольника.

Показать определение

\(\href{https://examp.info/onedef/mnogougolnik/}{\text{Многоугольник}}\) называется \(\textbf{вписанным в окружность}\), если все его вершины лежат на некоторой окружности.

Показать определение

\(\textbf{Вписанный угол} \, - \) это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Измеряется половиной дуги, на которую опирается.

Показать определение

\(\textbf{Вписанный четырехугольник}\) \(-\) это \(\href{https://examp.info/onedef/vpisannyj-mnogougolnik/}{\text{вписанный многоугольник}}\) с четырьмя вершинами.

Показать определение

\(\textbf{Выпуклая оболочка}\) множества точек плоскости \(-\) это минимальное выпуклое множество, содержащее все заданные точки.

Показать определение

Определение выпуклой вниз или вверх функции:

1.\( \textbf{Выпуклая вниз функция}\): Функция \( f(x) \) называется выпуклой вниз на интервале \( I \), если для любых \( x_1, x_2 \in I \) и любого \( \lambda \in [0, 1] \) выполняется неравенство:
\[
f(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2) \leqslant \lambda f(x_1) + …

Показать определение

\(\textbf{Высказывание}\) \(-\) утверждение, которое может быть истинным или ложным. Про высказывание можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Для построения составных высказываний над простыми высказываниями применяются логические операции, такие как \(\textit{НЕ, ИЛИ, И}\).

Высказывания часто обозначаются заглавными латинскими буквами.

\(\textbf{Отрицание}\) (логическое НЕ) \(-\) унарная (с одним входным аргументом) операция, результатом …

Обозначение: \(A\), \(B\), \(C\), \(\ldots\)

Показать определение

Высотой треугольника называют отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины на противолежащую сторону или на её продолжение. Также высотой могут называть длину этого отрезка.

На рисунке приведен пример высоты \(h\), опущенной из вершины \(C\) на основание \(AB\).

Обозначение: \(h\)

Показать определение

\(\textbf{Гармоническим}\) называется ряд \(\sum\limits_{n=1}^\infty{\dfrac{1}{n}}\).

\(\textbf{Замечание.}\) Является одним из простейших расходящихся рядов. Очень удобен для установления расходимости других рядов путем сведения к нему при помощи различных оценок и признака сравнения.
\(\textbf{Обобщенным гармоническим рядом}\) называется ряд \(\sum\limits_{n=1}^\infty{\dfrac{1}{n^s}}\), где \(s \, -\) любое вещественное число.

Показать определение

\( \textbf{Геометрическая прогрессия} \, b_{n} \) – это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число \(q \neq 0\). Это число называют \( \textbf{знаменателем}\) геометрической прогрессии.
\(\\\)
Любой член геометрической прогрессии можно представить в виде:
\[
b_n=b_1q^{n−1}.
\]

Обозначение: \(b_n\).

Показать определение

Наука, занимающаяся изучением геометрических фигур и их свойств.

Показать определение

\(\textbf{Гиперболой}\) называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности от которых до двух фиксированных точек плоскости, называемых \(\textit{фокусами}\), есть постоянная величина. Середина отрезка, соединяющего фокусы гиперболы, называется ее \(\textit{центром.}\)

Данное определение, вообще говоря, не зависит от системы координат, поэтому на плоскости гипербола может располагаться как угодно. Однако, с помощью определенных замен …

Показать определение

\(\textbf{Гомотетия}\) \(-\) это такое преобразование фигуры, при котором получается подобная ей фигура (фигура, у которой соответствующие углы равны и стороны пропорциональны).

Гомотетия с центром \(O\) и коэффициентом \(k\) \(-\) это преобразование, в котором каждая точка \(P\) отображается в такую точку \(P_1\), что \(\overrightarrow{OP_1} = k \cdot \overrightarrow{OP}\), где \(k \neq …

Показать определение

Градиентом называется характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой.

Для функции \(f = f(x_1, \dots x_n)\) градиентом является n-мерный вектор \(\displaystyle \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right). \)

Обозначение: \(grad \, f, \nabla f\)

Показать определение