В широком, логическом смысле этого слова под \(\textbf{индукцией}\) понимается логическое построение, позволяющее из частных соображений об объекте сделать некоторый глобальный вывод об этом самом объекте.

В контексте математики довольно обширное применение имеет \(\textbf{метод математической индукции}\), заключающийся в следующем.

Рассмотрим серию утверждений, занумерованных натуральными числами: \((P_1, P_2, ...)\). Согласно методу …

Обозначение: ПМИ, ММИ

Показать определение

Пусть функция \(f(x)\) положительна, монотонно убывает при \(x\geqslant 1\) и для всех \(n \in \mathbb {N}\) имеет место равенство \(f(n)=|a_n|\). Тогда числовой ряд \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) сходится абсолютно или расходится одновременно с интегралом \(\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)\,dx, \quad a\geqslant 1.\)

Показать определение

Если левая часть уравнения
\[
P(x, y) \, dx + Q(x, y) \, dy = 0
\]
не является полным дифференциалом, но удается подобрать такую функцию \(\mu(x,y)\), что после умножения на нее уравнения получаем уравнение в полных дифференциалах, то есть уравнение
\[
\mu(x,y)P(x,y)dx + \mu(x,y)Q(x,y)dy = 0
\]
удовлетворяет условию
\[
\frac{\partial (\mu(x,y)P(x,y))}{\partial y} = \frac{\partial (\mu(x,y)Q(x,y))}{\partial x},
\]
то …

Показать определение

Напомним, что \(\textit{секущей}\) назыввется прямая, котороя пересекает график функций не менее чем в двух точках.
Пусть точки \(A(x_0,f(x_0))\) и \(B(x_1,f(x_1))\) принадлежат графику функции \(y=f(x).\) Проведем через них секущую \(AB.\) \(\textbf{Касательной к графику функции}\) \(f(x)\) в точке \(x=x_0\) называется предельное положение секущей при \(x_1\) стремящимся к \(x_0.\) Иными словами, касательная \(-\) прямая, …

Показать определение

Прямоугольная таблица чисел, у которой количество строк равно количества столбцов, называется \(\textbf{квадратной матрицей}\).
Пример:

\[
A_{2\times 2} = \left(
{\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22} \\

\end{array} }\right)
\]

\[
A_{2\times2} = \left(
{\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 2 \\

\end{array} }\right)
\]

\[
A_{3\times3} = …

Обозначение: \(A_k, A_{k\times k}\).

Показать определение

\(\textbf{Квадратным}\) называется уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(x\ - \) неизвестная переменная, \(a, b, c\ - \) коэффициенты, \(a \neq 0\).

Обозначение: \(ax^2 + bx + c = 0\).

Показать определение

\(\textbf{Квадратным трехчленом}\) называют алгебраическое уравнение второй степени вида
\[ax^2 + bx + c = 0\]
где \(x \) \( - \) переменная, а \(a, b, c \) \( - \) вещественные числа (или комплексные).

Выделим полный квадрат в этом уравнении:
\[a\cdot (x+\dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{b^2}{4a} + c = 0 \Leftrightarrow (x+\dfrac{b}{2a})^2 = \dfrac{b^2-4ac}{4a^2} …

Показать определение

\(\textbf{Вероятность события}\) \(A \) \( - \) это отношение числа исходов \(m,\) благоприятствующих ему, к общему числу \(n\) всех равновозможных несовместных элементарных исходов, т. е. \[P(A) =\dfrac{m}{n}\]
\(\textbf{Равновозможными}\) называются исходы, обладающие одинаковыми шансами на возникновение;
\(\textbf{Несовместными}\) называются исходы, которые не могут произойти одновременно.

Отметим, что в случае, когда события устроены чуть более …

Обозначение: P(A).

Показать определение

Показать определение

Вектора \(\overrightarrow {AB}\) и \(\overrightarrow {CD}\) называются \(\textbf{коллинеарными}\), если они параллельны одной прямой.

В случае, когда когда вектора направлены в разные стороны, используется обозначение \(\overrightarrow {a} \uparrow \downarrow \overrightarrow {b} \).

Если же они указывают в одно направление, то пишут \(\overrightarrow {a} \uparrow \uparrow \overrightarrow {b}\).

Обозначение: \(\overrightarrow {a} \uparrow \downarrow \overrightarrow {b}, \quad\) \(\overrightarrow {a} \uparrow \uparrow \overrightarrow {b}\).

Показать определение

\(\bf {Комплексные}\) \(\bf{числа}\)
\(\it Введение \)
При рассмотрении действительных чисел (\(\in\mathbb{R}\)) отмечалось, что во множестве действительных чисел нельзя найти число, квадрат которого равен \((-1)\). При рассмотрение уравнений с отрицательным дискриминантом (\(D < 0\)) также отмечалось, что такие уравнения не имеют корней (решений). Чтобы подобные задачи были разрешимы, вводят новые числа …

Показать определение

\(\textbf{Конус}\) (точнее, \(\textbf{круговой конус}\)) \(-\) тело, которое состоит из круга (основания конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга, \(-\) вершины конуса \(-\) и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания.
Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются \(\textbf{образующими конуса}\).
Конус называется \(\textbf{прямым}\), если прямая, соединяющая вершину конуса с центром …

Обозначение: C.

Показать определение

\( \textbf{Корнем n-ой степени} \) числа \( a \) называется любое такое число \( b \), что \( b^n = a\).

Обозначение: \(\sqrt[n]{a}\).

Показать определение

Если кривая задана неотрицательной функцией \(y = f(x) \), то \(\textbf{криволинейной трапецией}\) называется фигура, ограниченная этой кривой, двумя вертикалями в точках \(х = а\) и \(х = b\) и отрезком оси абсцисс \(a \leqslant x \leqslant b\).

Показать определение

\(\textbf{Куб}\) \(-\) это выпуклый многогранник, поверхность которого состоит из шести равных квадратов. У куба 12 равных ребер и 8 вершин.

Обозначение: \(ABCDA'B'C'D'.\)

Показать определение

\(\textbf{Латинским квадратом n-того порядка}\) называют таблицу \(A=(a_{ij})\) размером \(n\times n,\) заполненную \(n\) элементами множества \(M\) таким образом, что в каждой строке и в каждом столбце таблицы каждый элемент из \(M\) встречается ровно один раз.

\(\textbf{Пример.}\) Пусть \(M=\{A,B,C\}.\)
\[
\begin{array}{| c | c | c |}
\hline
A&B&C\\
\hline
C&A&B\\
\hline
B&C&A\\
\hline
\end{array}
\]

Показать определение

Показать определение

\(\textbf{Линейная алгебра}\) \( - \) часть алгебры, изучающая векторы, векторные или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений.

Показать определение

\(\textbf{Линейное (векторное) пространство}\) — это множество элементов, называемых векторами, для которых определены две операции: сложение векторов и умножение вектора на скаляр. Эти операции должны удовлетворять следующим восьми свойствам:

\(\textbf{Коммутативность сложение}\): Для любых двух векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) в пространстве, \(\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}\).

\(\textbf{Ассоциативность сложения}\): …

Показать определение

\(\textbf{Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка}\) называется называется уравнение вида
\[
y' + p(x)y = q(x),\tag{1}
\]
где \( p(x) \), \( q(x) \) — заданные непрерывные функции.

Если можно его можно представить в виде \(y'=f(x,y)\), то такое уравнение называется \(\textbf{разрешенным относительно производной}\).

\(\href{https://examp.info/theorem/resheniya-linejnyh-differencialnyh-uravnenij-pervogo-poryadka/}{\textbf{Метод решения}}\)

Если \( q(x) \equiv 0 \), то уравнение (1) называется …

Показать определение

\( \textbf{Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами} \) \( - \) это обыкновенное дифференциальное уравнение вида
\[a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + ... + a_0 y = f(t) \]

где \(y^{(k)} \) \( - \) \(k \)-ая производная искомой функции \( y(t) \), а \( a_i \) \( - \) …

Показать определение

\(\textbf{Линейный угол двугранного угла между плоскостями}\) \(-\) это угол между перпендикулярами, опущенными на произвольную точку общей прямой этих плоскостей.

Градусная мера этого угла называется \(\textbf{градусной мерой двугранного угла}\).

Показать определение

\(\textbf{Логарифмом}\) положительного числа \(b\) по основанию \(a (a > 0, a \neq 1)\) называют число \(\alpha\), такое, что \(b = a^\alpha.\)

Обозначение: \(\alpha = \log_a b.\)

Показать определение

Показать определение

Функция \(f(x)\) называется \(\textbf{локально ограниченной функцией}\) при \(x \to x_{0}\), если \(\exists \, C>0, \exists \, \delta>0\) такие, что \(\forall x \in \overset{\circ}{U_\delta} \, (x_{0})\) выполняется \(|f(x)| \leqslant C\).

Показать определение

\( \textbf{Математическими конструкциями} \) будем называть некоторые шаблонные логические рассуждения, которые являются опорными в построениях различных доказательств в области математики.

В процессе доказательства от противного, к примеру, предполагается неверность исследуемого утверждения, а далее путем различных переходов демонстрируется, что в таком случае наблюдается противоречивость, то есть опровержение уже ранее доказанных …

Показать определение

\(\textbf{Математический анализ}\) \( - \) дисциплина, объединяющая дифференциальное и интегральное исчисление. В дифференциальном исчислении изучаются понятия \(\href{https://examp.info/onedef/proizvodnaya-funkcii/}{производной}\) и \(\href{https://examp.info/onedef/differencial/}{дифференциала}\), их свойства и применения в различных случаях, а в интегральном, соответственно, изучается понятие \(\href{https://examp.info/onedef/neopredelennyj-integral/}{интеграла}\) и его свойств.

Показать определение

\(\textbf {Матрицей}\) размером \(m \times n\) назовем прямоугольную таблицу вещественных (комплексных) чисел с m-строками и n-столбцами.
Пример:
\[
A_{3\times3} = \left(
{\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 3 \\
7 & 4 & 5
\end{array} }\right)
\]

Обозначение: \(A_{m \times n} = \begin {pmatrix} a_{11}& a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}& a_{m2}& \ldots & a_{mn} \end{pmatrix}\), где \( a_{ij} \in \mathbb{R} \)

Показать определение

Матрица \( K(t,\tau) \) называется \(\textbf{матрицей Коши}\) или \(\textbf{импульсной матрицей}\).

Матрица Коши \( K(t, \tau) \) имеет следующую структуру:

\[
K(t, \tau) =
\begin{pmatrix}
k_{11}(t, \tau) & k_{12}(t, \tau) & \cdots & k_{1n}(t, \tau) \\
k_{21}(t, \tau) & k_{22}(t, \tau) & \cdots & k_{2n}(t, \tau) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
k_{n1}(t, …

Показать определение

Пара \((X, \rho)\) состоящая из \(X\) – произвольное множество и \(\rho : X \times X \to \mathbb{R}_0^+ = [0, +\infty)\) – функция расстояния (метрика) называется \(\textbf{метрическим пространством}\), если выполняются следующие аксиомы:

1) \(\forall x, y \in X \ \rho(x, y) \geqslant 0\), причем \(\rho(x, x) = 0 \iff x …

Показать определение