Пусть \(f(x)\) определена на множестве \((a;x_0)\).

Тогда если\(\forall \varepsilon >0\) \(\exists \delta(\varepsilon)>0\): \(\forall x \in (x_0-\delta;x_0)\) выполнено \( |f(x)-A|<\varepsilon\) \( - \) говорят, что \(f(x)\) имеет \(\textbf{левосторонний предел}\), что обозначается \(\underset{x\to x_0-}{\lim} f(x)=A\).

Аналогично: \(g(x)\) определена на \((x_0;b)\), и если \(\forall \varepsilon >0\) \(\exists \delta(\varepsilon)>0\): \(\forall x \in …

Обозначение: \(\underset{x\to x_0-}{\lim} f(x)=A\), \(\underset{x\to x_0+}{\lim} g(x)=B\)

Показать определение

\(\textbf{Окружность}\) — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от заданной точки, лежащей в той же плоскости, что и кривая; эта точка называется \(\textbf{центром окружности}\). Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется \(\textbf{радиусом}\).

Прямая, пересекающая окружность в двух различных точках, называется \(\textbf{секущей}\). Отрезок секущей, расположенный внутри окружности, называется \(\textbf{хордой}.\) …

Обозначение: \(S^1\)

Показать определение

Под \(\textbf{операцией}\) в математике подразумевается отображение, которое ставит нескольким элементам множества другой элемент того же множества.

Примеры очень естественны: умножение, сложение, возведение в степень и так далее.

Обозначим некоторую операцию значком \(\wedge\), действующую на множестве \(T\). Операции могут удовлетворять или не удовлетворять разным свойствам:

1) \(\textbf{Коммутативность}\): \(a …

Показать определение

Окружность \(\textbf{описана}\) около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на окружности, а все стороны лежат внутри окружности. В этом случае многоугольник называется вписанным в окружность.

Показать определение

Определение «o» - малого.
Пусть \(f(x), g(x)\) определены в окрестности точки \(a\).

Говорят, что
\[
f(x) = o(g(x)), \quad x \to a,
\]
если существует функция \(\alpha(x)\), бесконечно малая при \(x \to a\), такая что
\[
f(x) = \alpha(x)\, g(x).
\]

Определение «O» - большого.
Говорят, что

…

Показать определение

\(\textbf{Определителем квадратной матрицы}\) \(A_{1 \times 1}=\begin{pmatrix} a_{11} \end{pmatrix} \) назовем число \(a_{11}\).

\(\textbf{Определителем квадратной матрицы}\) \( A_{2 \times 2}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\) назовем число: \( A_{2 \times 2} =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} =a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}\)

\(\textbf{Определителем квадратной …

Обозначение: det(A), |A|

Показать определение

\(\textbf{Определитель Вронского}\) \(-\) это скалярная функция, определяемая \(\href{https://examp.info/onedef/vektor-funkciya/}{\text{вектор-функциями}}\) \( {f}_1, \ldots, {f}_n \in \Phi(I) \):

\[
W_{{f}_1, \ldots, {f}_n}(t) = \det({f}_1(t), \ldots, {f}_n(t)), \quad t \in I
\]
То есть
\[
W(t) = \det \begin{pmatrix}
f_{11}(t) & \cdots & f_{n1}(t) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{1n}(t) & \cdots & f_{nn}(t)
\end{pmatrix}, \quad t \in I.
\]

\(I\) - …

Обозначение: \(W_{{f}_1, \ldots, {f}_n}(t)\).

Показать определение

\(\textbf{Ортогональная проекция точки}\) \(M\) на плоскость \(\alpha\) \(-\) это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость, если точка \(M\) не лежит на плоскости, и сама точка \(M\), если она лежит на плоскости.

\(\textbf{Ортогональная проекция фигуры}\) \(Q\) на плоскость \(\alpha\) \(-\) это совокупность ортогональных проекций всех точек фигуры \(Q\) …

Обозначение: \(pr_{\alpha}\)

Показать определение

\(\textbf{Ортоцентр треугольника}\) \(-\) точка пересечения высот треугольника.

Обозначение: \(H\)

Показать определение

Пусть \(a\) и \(b\neq0\) \(-\) целые числа. \(\textbf{Остатком}\) от деления числа \(a\) на число \(b\) называется такое неотрицательное целое число, которое по абсолютной величине меньше делителя при выполнении равенства \(a=b\cdot q + r\).

Обозначение: \(r \equiv a \pmod b\).

Показать определение

Множество \( M \subset (X, \rho) \) называется \(\textbf{открытым}\), если \(\forall x_0 \in M\) \(\exists B(x_0, \varepsilon)\), \(\varepsilon > 0\) такое, что \( B(x_0, \varepsilon) \subset M \), то есть каждая точка содержится в \( M \) вместе с некоторым шаром.

\(\textit{Пример:}\)

Интервал \(A = (0, 1)\) является открытым множеством …

Показать определение

\(\textbf{Открытым шаром}\) в \(\href{https://examp.info/onedef/metricheskoe-prostranstvo/}{\text{метрическом пространстве}}\) \((X,\rho)\) называется множество

\[
B(x_{0},r) = \{x \in X : \rho(x,x_{0}) < r\}.
\]

Здесь \(x_{0}\) – центр шара, а \(r\) – его радиус.

\(\textit{Пример:}\)

Рассмотрим метрическое пространство \((\mathbb{R}^2, d)\) с евклидовой метрикой:
\[
d((x_1,y_1), (x_2,y_2)) = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}
\]
\(\text{Пример открытого шара:}\)
\[
B((0,0), 1) = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2 …

Обозначение: \(B(x_{0},r) \).

Показать определение

Пусть \((X,\rho)\), \((Y,d)\) \(-\) \(\href{https://examp.info/onedef/metricheskoe-prostranstvo/}{\text{метрические пространства}}\) и \( f \colon (X, \rho) \to (Y, d).\)
Ясно, что \( f \colon X \to Y \) \(-\) отображение множеств.

Введем дополнительные понятия для отображений метрических пространств.

1)\(f - \textbf{непрерывное отображение}\) в точке \(x_0\), если \(\forall \varepsilon > 0\; \exists \delta = \delta(x_0, \varepsilon) …

Показать определение

\(\textbf{Палиндромом}\) называется число, которое в определённой позиционной системе исчисления читаются одинаково как справа налево, так и слева направо.

Показать определение

\(\textbf{Параболой}\) называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фиксированной точки \(\textit{фокуса}\) и фиксированной прямой \(\textit{директрисы}\) параболы постоянно.

Каноническим уравнением параболы в прямоугольной системе координат является:

\[y^2 = 2px \, \, \text{или} \, \, x^2 = 2py\]

Число \(p\) здесь \( - \) \(\textbf{фокальный параметр}\), равное расстоянию от …

Показать определение

\(\textbf{Параллелепипедом}\) называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед \( - \) это многогранник с шестью гранями. Каждая грань \( - \) параллелограмм.

Обозначение: ABCDA'B'C'D'

Показать определение

\(\textbf{Параллелограмм}\) \(-\) это выпуклый четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Показать определение

Определение. Параллельный перенос на вектор \(\vec{v}\) — отображение плоскости, при котором точка \(X\) переходит в \(X'\) так, что \(\overrightarrow{XX'}=\vec{v}\).

Свойства.

1. Сохраняет расстояния.
2. Сохраняет направления: \(\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{AB}\).
3. Сохраняет углы.
4. Композиция переносов на \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) — перенос на \(\vec{u}+\vec{v}\).
5. Обратный перенос — на \(-\vec{v}\).
6. При \(\vec{v}\neq\vec{0}\) неподвижных точек нет.
7. В координатах: …

Показать определение

\(\textbf{Параметр}\) \( - \) это фиксированное, но неизвестное число. Параметр имеет двойственную природу: с одной стороны, это фиксированное число, которое подставляется в уравнение относительно другой переменной и решается относительно него, с другой же этот параметр может изменяться, тем самым меняя множество решений уравнения.

Показать определение

Показать определение

\(\textbf{Перестановкой}\) конечного множества называется любое его биективное (т. е. взаимно однозначное) соответствие на себя. Перестановку часто записывают в виде таблицы: в верхней строке — аргументы, в нижней — значения функции. Например,

\[ \sigma = \begin {pmatrix} \square & \Diamond & \bigstar & \triangle & \bigcirc \\
\triangle & \bigcirc & \square …

Обозначение: \(\sigma\)

Показать определение

Десятичная дробь \(\alpha=0,a_1a_2\ldots a_kb_1b_2\ldots b_nb_1b_2\ldots b_n\ldots\), где \(b_1, b_2, \ldots, b_n\) \(-\) наименьший по длине отрезок цифр, повторяющийся начиная с некоторого места, называется \(\textbf{периодической десятичной дробью}\). При том набор цифр \(b_1b_2\ldots b_n\) называется \(\textbf{периодом}\), набор \(a_1a_2\ldots a_k\) \(-\) \(\textbf{предпериодом}\), \(n\) \(-\) длиной периода и записывается в виде \(\alpha=0,a_1a_2\ldots a_k(b_1b_2\ldots b_k)\).

Обозначение: \(\alpha=0,a_1a_2\ldots a_k(b_1b_2\ldots b_k)\).

Показать определение

Две пересекающиеся плоскости называются \(\textbf{перпендикулярными}\), если третья плоскость, перпендикулярная линии пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
\[\left\{\begin{array}{l}
\alpha \cap \beta = c \\
\gamma \perp c \\
\gamma \cap \alpha = a,\ \gamma \cap \beta = b \\
a \perp b
\end{array} \right.\quad \Rightarrow\quad \alpha \perp \beta.\]

Обозначение: \(\alpha \perp \beta.\)

Показать определение

\(N\)-угольной \(\textbf{пирамидой}\) называют многогранник, составленный из \(n\)-угольника \(A_1A_2\ldots A_n\) и \(n\) треугольников \(PA_1A_2, PA_2A_3, \ldots, PA_nA_1\), где точка \(P\) не лежит в плоскости \(n\)-угольника \(A_1A_2\ldots A_n\). Многоугольник \(A_1A_2\ldots A_n\) называется \(\textbf{основанием}\), а треугольники \(PA_1A_2, PA_2A_3, \ldots, PA_nA_1\) \(-\) \(\textbf{боковыми гранями}\). Точка \(P\) называется \(\textbf{вершиной}\) пирамиды, а отрезки \(PA_1, PA_2, \ldots, …

Обозначение: \(PA_1A_2\ldots A_n\)

Показать определение

\(\textbf{Площадью фигуры}\) называется количество квадратов со стороной, принятой за единицу длины (или частей таких квадратов), на которые можно разбить данную фигуру.

Вообще говоря, рассуждения здесь схожи с тем, которые поднимались, когда речь шла об \(\href{https://examp.info/onedef/obyom/}{объеме}\). Для точного описания того, что же такое площадь, в высшей математике конструируется такое понятие, как …

Обозначение: \(S, S_{\triangle}, S_{ABC}\)

Показать определение

Пусть \(O\) \(-\) точка на плоскости. Тогда поворотом плоскости на угол \(\alpha\) вокруг точки \(O\) называется такое движение плоскости, при котором точка \(O\) остается на месте, а любая другая точка \(A\) плоскости переходит в точку \(A'\) такую, что \(\angle AOA'=\alpha\) и \(OA=OA'\).

Показать определение

Два треугольника называют \(\textbf{подобными}\), если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

В треугольниках \(ABC\) и \(A'B'C':\) \[\angle A = \angle A',\ \angle B = \angle B',\ \angle C = \angle C';\] \[\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{AC}{A'C'} = k.\] Треугольники \(ABC\) и \(A'B'C'\) подобны. …

Обозначение: \(\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'.\)

Показать определение

Функция вида \(f(x)=a^x\), где \(a>0\) и \(a\neq1\), называется \(\textbf{показательной}\).
\(a\) \( - \) \(\textit{основание степени}\), \(x\) \( - \) \(\textbf{показатель степени}\).

Обозначение: \(a^x\).

Показать определение

\(\href{https://examp.info/onedef/metricheskoe-prostranstvo/}{\text{Метрическое пространство}}\) \((X, \rho)\) называется \(\textbf{полным}\), если для любой \(\href{https://examp.info/onedef/fundamentalnaya-posledovatelnost/}{\text{фундаментальной последовательности}}\) \(\{x_n\}_{n=1}^\infty \subset X\) существует

\[
\lim_{n\to\infty} x_n = x \in X.
\]

Преимущество полных пространств состоит в том, что при предельном переходе по данной метрике не нужно беспокоиться о том, обладает ли предельный элемент \(x\) всеми свойствами элементов \(x_n\).

Показать определение

Функция, принимающая значения в натуральных аргументах, называется \(\textbf {последовательностью}\).

Виды задания последовательности:

1. Функциональный: \(a_n=f(n)\) (например, \(a_n=\sin{n}\))

2. Рекуррентный: \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\) (например, последовательность Фибаначчи, у которой \(a_1=1,a_2=1\);

сама последовательность имеет вид: \(1,1,2,3,5,8,13,21,\ldots\)

Показать определение