\(\textbf{Определителем квадратной матрицы}\) \(A_{1 \times 1}=\begin{pmatrix} a_{11} \end{pmatrix} \) назовем число \(a_{11}\).

\(\textbf{Определителем квадратной матрицы}\) \( A_{2 \times 2}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\) назовем число: \( A_{2 \times 2} =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} =a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}\)

\(\textbf{Определителем квадратной матрицы}\) \(A_{3 \times 3} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \) назовем число: \( A_{3 \times 3}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} =a_{11} \cdot \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} - a_{12} \cdot \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{31} \cdot\begin{vmatrix}a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{vmatrix} \)

Можно углядеть и общую формулу для определителя матрицы произвольной размерности \(n\): берется сумма из произведений \(n\) элементов матрицы, таких, что каждый из этих элементов взят из разных строк и разных столбцов, а знак перед таким слагаемым берется с учетом знака \(\href{https://examp.info/onedef/perestanovka-mnozhestva/}{перестановки}\) (ставится минус, если перестановка получается из тождественной путем переставления нечетного числа пар индексов, и плюс, если получается за четное число перестановок пар), получившейся из индексов элементов, взятых в произведении.

У определителя есть и \(\textit{геометрический смысл}\): если мы возьмем \(n\) векторов в \(n-\)мерном пространстве и запишем их координаты построчно в таблицу, а затем найдем определитель такой матрицы, то получим, с точностью до знака, объем параллелепипеда, натянутого на эти вектора.

Обозначение: det(A), |A|