\(\textbf{Открытым шаром}\) в \(\href{https://examp.info/onedef/metricheskoe-prostranstvo/}{\text{метрическом пространстве}}\) \((X,\rho)\) называется множество

\[
B(x_{0},r) = \{x \in X : \rho(x,x_{0}) < r\}.
\]

Здесь \(x_{0}\) – центр шара, а \(r\) – его радиус.

\(\textit{Пример:}\)

Рассмотрим метрическое пространство \((\mathbb{R}^2, d)\) с евклидовой метрикой:
\[
d((x_1,y_1), (x_2,y_2)) = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}
\]
\(\text{Пример открытого шара:}\)
\[
B((0,0), 1) = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2 + y^2 < 1\}
\]
\(\text{Характеристики:}\)
Не включает граничную окружность \(x^2 + y^2 = 1\)
Для любой точки \(p \in B\) существует \(\varepsilon > 0\): \(B(p,\varepsilon) \subset B\)
Является \(\href{https://examp.info/onedef/otkrytoe-mnozhestvo/}{\text{открытым множеством}}\) по определению

Обозначение: \(B(x_{0},r) \).