Минором \(k\)-го порядка матрицы \(A\) называется определитель \(k\)-го порядка,полученный пересечением любых \(k\) строк и \(k\) столбцов матрицы \(A\) (если \(A\) имеет размер \(m \times \ n\), то \(k\) не превосходит наименьшее из \(m\) и \(n\) ).

Базисным минором называют ненулевой минор \(r\)-го порядка (у матрицы \(A\) может быть несколько …

Показать определение

\(\textbf{Многоугольник}\) \( - \) это область плоскости, которую ограничивает замкнутая ломаная кривая. Многоугольник называют \(\textbf{простым}\), если ломаная, которая его ограничивает, не имеет самопересечений. Если у многоугольника все стороны равны друг другу, то его называют \(\textbf{правильным}\).

Показать определение

\(\textbf{Многочлен}\) \( - \) функция, имеющая вид
\[P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_0\]
где \(x\) \( - \) переменная, а \(a_i\) \( - \) некоторые числа.

\(\textbf{Порядком многочлена}\) называется наибольшая степень \(n\), представленная в заданном выражении.

\(\textbf{Пример:}\)

\(P(x) = 5x^4 + 10x^3 + x^2 …

Обозначение: \(P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0\).

Показать определение

Расстояние от данной точки до начала координат называют \(\textbf{модулем}\) числа.
\[ |a| = \left\{\begin{array}{l}
a, \text{ если } a \geqslant 0, \\
-a, \text{ если } a < 0.
\end{array}\right.
\]

Обозначение: |a|.

Показать определение

\(\textbf{Монотонная функция}\) \( - \) функция одной переменной, определённая на некотором подмножестве действительных чисел, которая либо везде (на области своего определения) убывает, либо везде возрастает (рассматриваем монотонность в нестрогом смысле).

Функция называется \(\textbf{возрастающей}\), если большему значению аргумента соответствует не меньшее значение функции. Функция называется \(\textbf{убывающей}\), если большему значению аргумента соответствует …

Показать определение

\(\textbf{Наибольшим общим делителем}\) чисел \(a\) и \(b\) называется максимальное число, на которое делятся оба этих числа.

Наибольший общий делитель чисел \(a\) и \(b\) можно найти, например, \( \href{https://examp.info/theorem/algoritm-evklida/}{ \text{алгоритмом Евклида}} \).

Обозначение: \( \text{НОД}(a, b), (a, b), GCD(a, b)\).

Показать определение

\(\textbf{Наименьшее общее кратное (НОК)}\) двух натуральных чисел \(m\) и \(n\) \( - \) это наименьшее натуральное число, которое делится на \(m\) и \(n\) без остатка.

Обозначение: HOK\((m;n)\); \([m;n]\); LCD(m,n)

Показать определение

Для любых натуральных чисел \(a\) и \(b\), \( a > b \), имеет место соотношение \( \text{НОД} (a, b) = \text{НОД} (r, b) = \ldots = \text{НОД} (r_n, r_{n - 1}) = r_n \), где \(r_n\) \(-\) последний отличный от нуля остаток в системе:

\[
a = bq_1 + r_1, \text{ …

Показать определение

Множество всех \(\href{https://examp.info/onedef/pervoobraznaya-k-funkcii/}{\text{первообразных}}\) к \(f(x)\) на \([a;b]\) называется \(\textbf{неопределенным интегралом}.\)

\(\textbf{Пример:}\) \(\int \cos{x} dx = \sin{x} + C\)

В силу того, что производная константы \( - \) ноль, написанное верно; то есть в данное множество включаются естественным образом также и все сдвиги найденной нами функции. Следует помнить это, поскольку \(\textit{упущение …

Обозначение: \(\int f(x)\, dx\).

Показать определение

Функция называется \(\textbf{непрерывной на отрезке}\), если \(\forall \varepsilon>0\) \(\exists \delta>0\) \(\forall x\in (a,b)\) \(x\in \overset{\circ}{U_\delta} (x_0)\) \(|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\).

Показать определение

Функция \(f(x)\) называется \(\textbf{непрерывной}\) в точке \(x_0\), если \(\exists \underset{x\rightarrow x_0}{\lim}f(x)=f(x_0)\).

Обозначение: \(f(x) \in C(x_0)\).

Показать определение

\(\textbf{Неравенства о средних (неравенства Коши)}\) гласят
\begin{gather*}
\min\{x_1,\ldots,x_n\} \leqslant \dfrac{n}{\frac{1}{x_1}+\ldots+\frac{1}{x_n}}\leqslant \sqrt[n]{x_1\ldots x_n}\leqslant \dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}\leqslant \\
\sqrt{\dfrac{x_2^2+\ldots+x_n^2}{n}}\leqslant \max\{x_1,\ldots,x_n\},
\end{gather*}
где все \(x_i\), \(i=1,\ldots,n\) неотрицательны. Здесь:

\(\min\{x_1,...,x_n\}\) — \(\textbf{наименьшее}\) из \(n\) чисел;

\(\dfrac{n}{\frac{1}{x_1}+\ldots+\frac{1}{x_n}}\) — \(\textbf{среднее гармоническое}\) \(n\) чисел;

\(\sqrt[n]{x_1\ldots x_n}\) — \(\textbf{среднее геометрическое}\) \(n\) чисел;

\(\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}\) — \(\textbf{среднее арифметическое}\) \(n\) чисел;

…

Показать определение

\( \textbf{Неравенством}\) мы будем называть задачу (или утверждение) вида
\[f(x) \wedge g(x)\]
для некоторых функций \(f(x), g(x)\) где вместо условного знака (на самом деле, бинарного отношения) \(\wedge\) могут стоять знаки вида \( < , >, \leq, \geq \).

В случае, когда надо решить неравенство, требуется найти все такие значения \(x\), …

Показать определение

Если функция \(f\) выпукла \( (f''(x) \geqslant 0)\) на интервале \(I\), то \(f\left(\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i x_i\right) \leqslant \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i f(x_i), \) где \( \lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_n = 1.\)
Если функция \(f\) вогнута \( (f''(x) \leqslant 0)\) на интервале \(I\), то \( \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i f(x_i) \leqslant f\left(\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i x_i\right),\) …

Показать определение

Для любых двух векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) в \(\href{https://examp.info/onedef/evklidovo-prostranstvo/}{евклидовом}\) пространстве \(\href{https://examp.info/onedef/skalyarnoe-proizvedenie/}{скалярное}\) произведение этих векторов по модулю всегда меньше или равно произведению их \(\href{https://examp.info/onedef/norma-vektora/}{норм}\). Математически это выражается как:

\[
| \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} | \leqslant \| \mathbf{u} \| \| \mathbf{v} \|
\]

где:

1) \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\) — скалярное произведение векторов \(\mathbf{u}\) …

Показать определение

\(\textbf{Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом}\) гласит
\[
\sqrt{ab}\leqslant \dfrac{a+b}{2},
\]
где \(a\) и \(b\) \( - \) неотрицательные числа. Равенство достигается тогда и только тогда, когда \(a=b\). Здесь \(\dfrac{a+b}{2}\) \( - \) \(\textbf{среднее арифметическое}\) чисел \(a\) и \(b\), а \(\sqrt{ab}\) \( - \) \(\textbf{среднее геометрическое чисел}\) \(a\) и \(b\).

\(\href{https://examp.info/theorem/neravenstvo-o-srednem-arifmetichekom-i-srednem-geometricheskom/}{\textbf{Доказательство данного утверждения …

Показать определение

Показать определение

Определенный интеграл \(I=\displaystyle\int \limits_a^b f(x)\,dx\) называется \(\textbf{несобственным интегралом 1 рода}\), когда по крайней мере одно из чисел \(a,b\) бесконечно.

Рассмотрим случай, когда нижний предел интегрирования конечен, а верхний равен \(+\infty \):
\[I=\int \limits_a^{+\infty} f(x)\,dx.\]

Пусть существует конечный предел
\[A=\lim_{B \to{+\infty}}\int \limits_a^B f(x)\,dx,\]
тогда говорят, что несобственный интеграл 1 рода является сходящимся и ему …

Показать определение

Функция \(y = y(x)\), где \(x = (x_{1}, \dots, x_{n})\), называется \(\textbf{неявной функцией}\), заданной уравнением \(F(x, y) = 0\), если выполняется равенство \(F(x, y(x)) = 0\).

\(\textit{Пример}\):

Функция \(y = \sqrt{1 - x_{1}^{2} - x_{2}^{2}}\) может быть неявно задана уравнением \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + y^{2} = 1\).

Показать определение

\(\textbf{Норма (длина) вектора}\) — это числовая характеристика вектора, удовлетворяющая следующим аксиомам:

\(\textbf{1.Положительная определенность}\)

Для любого вектора \( v \) выполняется:
\[
\| v \| \geqslant 0,
\]
причём
\[
\| v \| = 0 \Leftrightarrow v = 0
\]

\(\textbf{2.Однородность}\)

Для любого вектора \( v \) и числа \( \alpha \):
\[
\| \alpha v \| = |\alpha| …

Показать определение

\(\textbf{Областью допустимых значений}\) выражения называют совокупность всех значений входящих в него переменых, при которых оно имеет смысл.

\(\textbf{Пример 1}\) Найдем область допустимых значений выражений.
1. \(\sqrt{x}\)
ОДЗ: \(x\geqslant 0\)
2. \(1/x\)
ОДЗ: \(x\neq 0\)
3. \(\log_a x\)
ОДЗ: \[
\begin{cases}
a\neq 1\\
a>0\\
x>0
\end{cases}
\]

Обозначение: ОДЗ

Показать определение

Дифференциальное уравнение называется \(\textbf{обобщенно однородным}\), если существует такое отличное от нуля и единицы число \(m\), при котором это уравнение не меняет своего вида после замены \(x\to kx, \,\, y\to k^my\), где \(k\) \( - \) постоянная. При такой замене производная \(n-\)го порядка умножается на \(k^{m-n}\):
\[y^{(n)}= \dfrac{d^ny}{dx^n} \to \dfrac{d^n(k^my)}{d(kx)^n} = \dfrac{k^m}{k^n} …

Обозначение: \[f(kx,k^my, k^{m-1}y', \ldots , k^{m-n}y^{(n)})=k^pf(x,y,y',\ldots,y^{(n)}).\]

Показать определение

Показать определение

\(\textbf{Общим уравнением прямой}\) на плоскости будем называть уравнение \(Ax+By+C=0\).

Показать определение

\(\textbf{Объём (V)}\) \( - \) количественная характеристика тела, которая характеризует, в некотором смысле, вместимость той области пространства, которую занимает это самое тело. Стоит отметить, что такое определение очень неточное и нестрогое: строгое определение того, что такое объем, это, на самом деле, одна из фундаментальных задач математики; однако углубляться в это …

Обозначение: V

Показать определение

\(\textbf{Ограниченной функцией на множестве}\) \(X \subset \mathbb{R}\) будем называть такую функцию \(f(x)\), для которой выполнено: \(\exists M>0\) \(\forall x \in X\) \(\longrightarrow\) \(|f(x)| \leqslant M\).

Показать определение

Функция \(F(x, y)\) называется \(\textbf{однородной функцией степени}\) \(n\), если для \(\forall k>0\) имеем \(F(kx, ky)=k^n\cdot F(x,y)\).

Например, функция может быть однородной относительно:

1. Тригонометрических функций:
\[F(\sin x, \cos x) = 5\sin^2 x - 3\cos x \sin x + 2\cos^2 x.\]
2. Показательных функций:
\[F(a^x, b^x) = 3 a^{2x}-5 a^x b^x+2 b^{2x}.\]
3. Многочленов:
\[F(x,y) = …

Обозначение: \(F(x, y)\).

Показать определение

Дифференциальное уравнение называется \(\textbf{однородным}\), если оно может быть записано в виде \(y'=f\left(\frac{y}{x}\right)\tag{1}\), а также в виде \(M(x, y)\, dx + N(x, y)\, dy =0\), где \(M(x, y)\) и \(N(x, y)\) \(-\) \( \href{https://examp.info/onedef/odnorodnaya-funkciya-stepeni-n/}{\text{однородные функции}} \) одной и той же степени.

\(\href{https://examp.info/theorem/resheniya-odnorodnyh-differencialnyh-uravnenij-pervogo-poryadka/}{\textbf{Метод решения}}\)

Показать определение

Уравнение вида \(F(x, y) = 0\), где \(F\ - \) \(\href{https://examp.info/onedef/odnorodnaya-funkciya-stepeni-n/}{\text{однородная функция степени n}}\), называется \(\textbf{однородным степени}\) \(n\).

Обозначение: \(F(x, y)=0\).

Показать определение

Уравнения вида: \(y'=f\Big(\dfrac{y}{x}\Big)\) или \(M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\) , где \(M(x,y)\) и \(N(x,y)\) \(-\) \(\href{https://examp.info/onedef/odnorodnaya-funkciya-stepeni-n/}{\text{однородные функции}}\) одной и той же степени, называются \({\textbf{однородными дифференциальными уравнениями 1-го порядка}}\).

\(\href{https://examp.info/theorem/resheniya-odnorodnyh-differencialnyh-uravnenij-pervogo-poryadka/}{\textbf{Метод решения}}\)

Обозначение: \(y'=f\Big(\dfrac{y}{x}\Big)\) или \(M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\)

Показать определение