Определенный интеграл \(I=\displaystyle\int \limits_a^b f(x)\,dx\) называется \(\textbf{несобственным интегралом 1 рода}\), когда по крайней мере одно из чисел \(a,b\) бесконечно.

Рассмотрим случай, когда нижний предел интегрирования конечен, а верхний равен \(+\infty \):
\[I=\int \limits_a^{+\infty} f(x)\,dx.\]

Пусть существует конечный предел
\[A=\lim_{B \to{+\infty}}\int \limits_a^B f(x)\,dx,\]
тогда говорят, что несобственный интеграл 1 рода является сходящимся и ему приписывают значение \(A\), саму функцию называют интегрируемой на интервале \([a,+\infty)\). Если же указанного предела не существует, то говорят, что интеграл расходится.

Если подинтегральная функция имеет на конечном интервале интегрирования разрыв второго рода, говорят о \(\textbf{несобственном интеграле второго рода}\).

Обозначим интервал интегрирования \([a,b]\), оба этих числа ниже полагаются конечными. Если имеется всего 1 разрыв, он может находиться или в точке \(a\), или в точке \(b\), или внутри интервала \((a,b)\). Рассмотрим сначала случай, когда разрыв второго рода имеется в точке \(b\), а в остальных точках подинтегральная функция непрерывна.
\[I=\int \limits_a^b f(x)\,dx,\]
причем \(f(x) \to \infty \), когда \(x \to b-0\).

Пусть существует конечный предел
\[A=\lim_{B \to{b-0}}\int \limits_a^B f(x)\,dx,\]
тогда говорят, что несобственный интеграл второго рода сходится, и ему приписывают значение \(A\), саму функцию \(f(x)\) называют интегрируемой на интервале \([a,b]\).