Показать определение

\(\textbf{Граф} - \) это математическая абстракция реальной системы любой природы, объекты которой обладают парными связями. Граф как математический объект есть совокупность двух множеств \(-\) множества самих объектов, называемого множеством \(\textbf{вершин}\), и множества их парных связей, называемого множеством \(\textbf{ребер}\). Элемент множества рёбер есть пара элементов множества вершин.

В качестве примера можно …

Показать определение

\(\textbf{Двугранным углом}\) называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой. Полуплоскости называются \(\textbf{гранями}\), а ограничивающая их прямая \(-\) \(\textbf{ребром двугранного угла}\).

Показать определение

Если для некоторого целого числа \(a\) и целого числа \(b\) существует такое целое чисто \(q\), что \(b\cdot q = a\), то говорят, что число \(a\) делится нацело на \(b\), или что \(b\) делит \(a\). Саму \(\textbf{делимость}\) (на какое-то число) можно считать свойством числа.

При этом число \(b\) называется \(\textbf{делителем}\) числа …

Обозначение: \(b \, | \, a, a \, \vdots \, b\)

Показать определение

В десятичной системе счисления числа записывают при помощи десяти знаков: \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.\) Эти знаки называют \(\textbf{цифрами}\). При этом одна и та же цифра имеет различное значение в зависимости от того места (позиции), где она расположена в записи числа (то есть десятичная система счисления является позиционной системой счисления).
Соответственно десятичная запись это способ …

Показать определение

\(\textbf{Диофантово уравнение}\) \(-\) уравнение с несколькими неизвестными, решения которого ищутся в целых числах.

Простейшее из диофантовых уравнений \(-\) уравнение первой степени
\[ax + by = c,\] где \(a\) и \(b\) \(-\) отличные от нуля целые числа.

Показать определение

Показать определение

Пусть \(\Delta f=f(x)-f(x_0)=A\cdot \Delta x+\alpha(\Delta x)\cdot \Delta x\), где \(A \, -\) это константа, а \(\alpha(\Delta x) \, -\) это бесконечно малая функция. \(\textbf{Дифференциалом функции}\) \(f(x)\) в точке \(x_0\) назовем главную линейную часть приращения \(A\cdot \Delta x\).

Обычно записываем \(df=A\cdot \Delta x\). Можно показать, что \(df=f'(x)\cdot \Delta x\).

Обозначение: \(df, df(x)\).

Показать определение

Дифференциальное уравнение вида:

\[
\frac{dy}{dx} + p \left( x \right) y = f \left( x \right) y^n, \quad n \neq 1,
\]
или
\[
y^{-n} \frac{dy}{dx} + p \left( x \right) y^{1-n} = f \left( x \right).
\]

\(\href{https://examp.info/theorem/resheniya-differencialnyh-uravnenij-bernulli/}{\textbf{Метод решения}}\)

Показать определение

Показать определение

Уравнение \(M(x, y)\, dx + N(x, y) \, dy = 0\) называется уравнением в \(\textbf{полных дифференциалах}\), если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции \(F(x, y)\). Это имеет место, если \(\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}\), где \(F'_x = M(x, y)\), а \(F'_y=N(x, y)\).

\(\textit{Пример:}\)
Уравнение:
\[
(2x + y^2) \, …

Показать определение

Дифференциальное уравнение называется \(\textit{уравнением с разделяющимися переменными}\), если оно может быть представлено в следующем виде:

\(X_1(x)Y_1(y)dx+X_2(x)Y_2(y)dy=0\).

(если сравнивать с общим видом дифференциального уравнения: \(P(x,y)=X_1(x)Y_1(y)\), \(Q(x,y)=X_2(x)Y_2(y)\)).

\(\href{https://examp.info/theorem/resheniya-differencialnyh-uravnenij-s-razdelyayushimisya-peremennymi-pervogo-poryadka/}{\textbf{Метод решения}}\)

\(\textbf{Пример 1.}\) Решите дифференциальное уравнение \(y^2\,dx+x\,dy=0\).

Выпишем функции \(P(x,y)=X_1(x)\cdot Y_1(y)=1\cdot y^2\), \(Q(x,y)=X_2(x)\cdot Y_2(y)=x\cdot 1\).

Преобразовав исходное уравнение, получим \(y^2dx=-xdy\). Тогда \(\displaystyle \int \dfrac{dx}{x}=\displaystyle …

Показать определение

Показать определение

Функция \(f(x)\) называется \(\textbf{дифференцируемой}\) в данной точке \(x_0\), если её приращение в этой точке может быть записано в виде \(\Delta f=f(x)-f(x_0)=A\cdot \Delta x+\alpha(\Delta x)\cdot \Delta x\), где \(A \, -\) это константа, а \(\alpha(\Delta x) \, -\) это бесконечно малая функция.

\(\textbf{Дифференцированием}\) называется операция взятия производной. Дифференцируемость принято обозначать …

Обозначение: \(f(x)\in D(x_0)\).

Показать определение

\(\textbf{Длиной}\) (или \(\textbf{модулем}\)) вектора \(\overrightarrow {AB}\) называется длина отрезка \(AB\).

Обозначение: |\(\overrightarrow {AB}\)| =\(|AB|\).

Показать определение

Пусть \(x\) \(-\) вещественное число. Число \(\{x\}=x-[x]\) называется дробной частью числа \(x\), где \([x]\) \(-\) целая часть числа \(x\) ( то есть наименьшее целое число, не превосходящее \(x\)).

Обозначение: \(\{x\}\).

Показать определение

\(\textbf{Дробно-рациональное уравнение} -\) это уравнения вида:

\[\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0\]

Здесь \(P(x), Q(x)\) \( - \) многочлены некоторых порядков.

\(\textbf{Пример:}\)

Пусть \(P(x) = (x-a)^3\cdot (x-b)^2\), а \(Q(x) = (x-a)^2 \cdot (x-b)\). Тогда
\[\dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{(x-a)^3\cdot (x-b)^2}{(x-a)^2 \cdot (x-b)} = (x-a)\cdot (x-b)\]

Показать определение

\(\textbf{Евклидово пространство}\) — это конечномерное вещественное \(\href{https://examp.info/onedef/vektornoe-prostranstvo/}{\text{векторное пространство}}\) со \(\href{https://examp.info/onedef/skalyarnoe-proizvedenie/}{\text{скалярным произведением}}\), которое позволяет измерять длины векторов и углы между ними.

\(\textbf{Формальное определение}\)

Евклидово пространство — это пара \(V, \langle \cdot, \cdot \rangle\), где:

\(V\) — конечномерное векторное пространство над \(\mathbb{R}\)

\(\langle \cdot, \cdot \rangle: V \times V \to \mathbb{R}\) — …

Показать определение

Классической задачей Коши для волнового уравнения называется задача о нахождении функции \(u(x,t) \in C^2(t>0) \cap C^1(t\geq 0)\), удовлетворяющая при \(t>0\) уравнению
\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \Delta u, \ x\in\mathbb{R}^n, \ a>0, \ \left.u\right \vert_{t=0} = \phi(x), \ \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right \vert_{t=0} = \psi(x)\]
\(\Delta - \href{https://examp.info/onedef/operator-laplasa/}{\text{оператор Лапласа}}\).

Показать определение

В \(\textbf{задаче на вычисление значений}\) требуется получить некоторое числовое значение для искомого параметра или переменной, пользуясь численными данными, которые даны в постановке задачи.

Показать определение

Под \(\textbf{задачей на движение}\) понимается задача о вычислении или определении различных параметров некоторой динамической конструкции. В постановке такой задачи фигурируют движущиеся по определенным законам объекты, может быть дана как их скорость, так и относительная скорость относительно другого движущегося объекта; в задаче может быть указано время, которое потребовалось некоторому телу на …

Показать определение

В \(\textbf{задачах на проценты}\) требуется, как правило, установить, каково процентное содержание некоторого вещества, зная его массу или процент содержания в исходном объеме, при переливании (разбавлении) в раствор другого объема или же при любой другой схожей процедуре. Простейшие задачи на проценты заключаются в нахождении процента от числа, то есть, когда при …

Показать определение

Множество \( M \subset (X, \rho) \) называется \(\textbf{замкнутым}\), если \( X \setminus M \) \(-\) \(\href{https://examp.info/onedef/otkrytoe-mnozhestvo/}{\text{открыто.}}\)

\(\textit{Пример:}\)

Рассмотрим метрическое пространство \( (\mathbb{R}, |\cdot|) \) и множество \( M = [0, 1] \).

1. Найдём дополнение \(M\) до \(\mathbb{R}\) (другими словами разность множеств): \( \mathbb{R} \setminus M = (-\infty, 0) …

Показать определение

\(\textbf{Замкнутым шаром}\) называется множество

\[
\overline{B(x_{0},r)} = B[x_{0},r] = \{x \in X : \rho(x,x_{0}) \leqslant r\}.
\]

\(\textit{Пример:}\)
\(\text{Рассмотрим метрическое пространство}\) \(\mathbb{R}\) \(\text{с обычной метрикой}\) \(d(x, y) = |x - y|\). Замкнутый шар \(\overline{B}(0, 1)\) — это множество всех точек \(x \in \mathbb{R}\), таких что \(|x| \leq 1\), то есть отрезок \([-1, 1]\).

Обозначение: \(B[x_{0},r] \).

Показать определение

\(\textbf{Замыкание множества}\) \(M \subset (X,\rho)\) это

\[
\overline{M} := M \cup \{\text{все \(\href{https://examp.info/onedef/predelnaya-tochka-metricheskogo-prostranstva/}{\text{предельные точки}}\) } M\} \equiv \{\text{все \(\href{https://examp.info/onedef/tochka-prikosnoveniya-mnozhestva/}{\text{точки прикосновения}}\) } M\}.
\]

\(\textit{Пример:}\)

Замыкание множества \(A = (0, 1)\) в \(\mathbb{R}\) — это отрезок \([0, 1]\), так как к \(A\) добавляются все его точки прикосновения.

\[
\overline{(0,1)} = [0,1]
\]

Обозначение: \(\overline{M}\).

Показать определение

Ряд называется \(\textbf{знакочередующимся}\), если все чётные члены имеют один знак, а нечётные — другой. Иными словами, знакочередующийся ряд имеет либо вид

\[
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n p_n, \quad \text{или } \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} p_n \quad (p_n \geqslant 0).
\]

Эти ряды отличаются знаком первого члена.

Показать определение

Показать определение

\(\textbf{Инвариант}\) \( - \) это некоторое выражение или свойство изучаемого объекта, которое неизменно в контексте рассматриваемых над ним преобразований. Например, можно сказать, что величины углов треугольника или отношения его сторон инвариантны относительно \(\href{https://examp.info/onedef/gomotetiya/}{\text{гомотетии}}\).

Показать определение

\(\textbf{Инверсия}\) в \( \href{https://examp.info/onedef/perestanovka-mnozhestva/}{\text{перестановке}}\) \(\sigma\) — это число таких пар \( \{i, j\} \), что \(i < j\), но \(\sigma(i)>\sigma(j)\). Например, дана перестановка \[ \sigma_{1} = \begin {pmatrix} 1& 2 & 3 & 4 & 5 \\
4 & 5 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}.\]

Для перестановки \( \sigma_{1} …

Показать определение

Всякое взаимно однозначное отображение \(\pi\) множества \(\{1, 2, \ldots, n\}\) первых \(n\) натуральных чисел на себя называется \(\textbf{подстановкой (перестановкой)}\) \(n\)-го \(\textbf{порядка}\).

Всякая подстановка может быть записана в виде \[ \pi = \begin {pmatrix} i_1& i_2 & \ldots & i_n\\ \alpha_{i_1}& \alpha_{i_2} & \ldots & \alpha_{i_n} \end{pmatrix},\] где \( \alpha_{i_k} =\pi(i_k)\) …

Показать определение