\(\textbf{Евклидово пространство}\) — это конечномерное вещественное \(\href{https://examp.info/onedef/vektornoe-prostranstvo/}{\text{векторное пространство}}\) со \(\href{https://examp.info/onedef/skalyarnoe-proizvedenie/}{\text{скалярным произведением}}\), которое позволяет измерять длины векторов и углы между ними.

\(\textbf{Формальное определение}\)

Евклидово пространство — это пара \(V, \langle \cdot, \cdot \rangle\), где:

\(V\) — конечномерное векторное пространство над \(\mathbb{R}\)

\(\langle \cdot, \cdot \rangle: V \times V \to \mathbb{R}\) — функция, удовлетворяющая аксиомам:

1. \(\textbf{Симметричность:}\)
\[
\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle
\]

2. \(\textbf{Линейность по первому аргументу:}\)
\[
\langle \alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = \alpha \langle \mathbf{u}, \mathbf{w} \rangle + \beta \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle
\]

3. \(\textbf{Положительная определённость:}\)
\[
\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle \geq 0, \quad \text{причём } \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = 0 \Leftrightarrow \mathbf{v} = \mathbf{0}
\]

\(\textbf{Стандартный пример}\)

Пространство \(\mathbb{R}^n\) со стандартным скалярным произведением:
\[
\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n
\]

\(\textbf{Геометрические понятия}\)

\(\textbf{Длина (норма) вектора:}\)
\[
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle}
\]

\(\textbf{Расстояние между точками:}\)
\[
d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \|\mathbf{u} - \mathbf{v}\|
\]

\(\textbf{Угол между векторами:}\)
\[
\cos \theta = \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\|}
\]

\(\textbf{Ортогональность:}\)
\[
\mathbf{u} \perp \mathbf{v} \Leftrightarrow \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 0
\]

\(\textbf{Важные следствия}\)

\(\textbf{Неравенство Коши-Буняковского:}\)
\[
|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| \leq \|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\|
\]

\(\textbf{Неравенство треугольника:}\)
\[
\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\| \leq \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|
\]

\(\textbf{Теорема Пифагора:}\)
\[
\mathbf{u} \perp \mathbf{v} \Rightarrow \|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2
\]