Множество \( M \subset (X, \rho) \) называется \(\textbf{замкнутым}\), если \( X \setminus M \) \(-\) \(\href{https://examp.info/onedef/otkrytoe-mnozhestvo/}{\text{открыто.}}\)

\(\textit{Пример:}\)

Рассмотрим метрическое пространство \( (\mathbb{R}, |\cdot|) \) и множество \( M = [0, 1] \).

1. Найдём дополнение \(M\) до \(\mathbb{R}\) (другими словами разность множеств): \( \mathbb{R} \setminus M = (-\infty, 0) \cup (1, +\infty) \)

2. Проверим открытость дополнения:
Для любой точки \( x \in (-\infty, 0) \) существует \( \varepsilon = |x|/2 > 0 \) такой, что \( B(x, \varepsilon) \subset (-\infty, 0) \)
Для любой точки \( x \in (1, +\infty) \) существует \( \varepsilon = (x-1)/2 > 0 \) такой, что \( B(x, \varepsilon) \subset (1, +\infty) \)

3. Так как \( \mathbb{R} \setminus M \) открыто, то по определению \( M \) — замкнуто.

\(\textit{Пример:}\)

Отрезок \(A = [0, 1]\) является замкнутым множеством в \(\mathbb{R}\), так как он содержит все свои \(\href{https://examp.info/onedef/tochka-prikosnoveniya-mnozhestva/}{\text{точки прикосновения.}}\)

\[
\overline{[0,1]} = [0,1]
\]