Дифференциальное уравнение называется \(\textit{уравнением с разделяющимися переменными}\), если оно может быть представлено в следующем виде:

\(X_1(x)Y_1(y)dx+X_2(x)Y_2(y)dy=0\).

(если сравнивать с общим видом дифференциального уравнения: \(P(x,y)=X_1(x)Y_1(y)\), \(Q(x,y)=X_2(x)Y_2(y)\)).

\(\href{https://examp.info/theorem/resheniya-differencialnyh-uravnenij-s-razdelyayushimisya-peremennymi-pervogo-poryadka/}{\textbf{Метод решения}}\)

\(\textbf{Пример 1.}\) Решите дифференциальное уравнение \(y^2\,dx+x\,dy=0\).

Выпишем функции \(P(x,y)=X_1(x)\cdot Y_1(y)=1\cdot y^2\), \(Q(x,y)=X_2(x)\cdot Y_2(y)=x\cdot 1\).

Преобразовав исходное уравнение, получим \(y^2dx=-xdy\). Тогда \(\displaystyle \int \dfrac{dx}{x}=\displaystyle \int -\dfrac{dy}{y^2}\).

Получим \(\ln |x|=\dfrac{1}{y}+C\). Можно выразить зависимость \(y\) от переменной \(x\) явно \(y(x)=\dfrac{1}{\ln|x|+C}\), где \(C \in \mathbb{R}\).