\(\textbf{Неравенства о средних (неравенства Коши)}\) гласят
\begin{gather*}
\min\{x_1,\ldots,x_n\} \leqslant \dfrac{n}{\frac{1}{x_1}+\ldots+\frac{1}{x_n}}\leqslant \sqrt[n]{x_1\ldots x_n}\leqslant \dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}\leqslant \\
\sqrt{\dfrac{x_2^2+\ldots+x_n^2}{n}}\leqslant \max\{x_1,\ldots,x_n\},
\end{gather*}
где все \(x_i\), \(i=1,\ldots,n\) неотрицательны. Здесь:

\(\min\{x_1,...,x_n\}\) — \(\textbf{наименьшее}\) из \(n\) чисел;

\(\dfrac{n}{\frac{1}{x_1}+\ldots+\frac{1}{x_n}}\) — \(\textbf{среднее гармоническое}\) \(n\) чисел;

\(\sqrt[n]{x_1\ldots x_n}\) — \(\textbf{среднее геометрическое}\) \(n\) чисел;

\(\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}\) — \(\textbf{среднее арифметическое}\) \(n\) чисел;

\(\sqrt{\dfrac{x_1^2+\ldots+x_n^2}{n}}\) — \(\textbf{среднее гармоническое}\) \(n\) чисел;

\(\max\{x_1,\ldots,x_n\}\) — \(\textbf{наибольшее}\) из \(n\) чисел.

\(\href{https://examp.info/theorem/neravenstva-o-srednih/}{\textbf{Доказательство доступно по ссылке.}}\)