Пусть \(A(x)\) и \(B(x)\) \(-\) многочлены некоторых порядков относительно \(x\). Тогда неравенство вида \(\frac{A(x)}{B(x)}\ > 0\) называют \(\textbf{рациональным неравенством}\).

Показать определение

Число \(a\) называется \(\textbf{рациональным}\), если оно представимо в виде \(a=\dfrac{m}{n}\), где \(m\) \(-\) некоторое целое, а \(n\) \(-\) натуральное числа. Все остальные действительные числа называются \(\textbf{иррациональными}\) (\(\mathbb{Q}\) \(-\) множество рациональных чисел, \(\mathbb{I}\) \(-\) множество иррациональных чисел).

Обозначение: \(\mathbb{Q}, \mathbb{I}\).

Показать определение

\(\textbf{Рекуррентной последовательностью}\) называется такая последовательность, каждый последующий элемент которой задается как некоторая функция от предыдущих элементов.

Ярким примером такой последовательности является последовательность \(\href{https://examp.info/admin/r/7/219/}{Фибоначчи}\).

Показать определение

\(\textbf{Решётка}\) в математике \( - \) это множество всех точек пересечения двух семейств параллельных прямых, разбивающих плоскость на равные параллелограммы.

\(\textbf{Узлы решётки}\) \( - \) это сами точки пересечения.

Показать определение

Показать определение

Формальная бесконечная сумма \(a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n+\ldots\) называется \(\textbf{рядом (числовым рядом)}\) и обозначается \(\sum\limits_{n=1}^\infty{a_n}\).

Обозначение: \(\sum\limits_{n=1}^\infty{a_n}\).

Показать определение

\(\textbf{Сегмент}\) (точнее, \(\textbf{круговой сегмент}) -\) часть круга, ограниченная дугой окружности и ее хордой.

\(\textbf{Шаровой сегмент}\) \(-\) часть шара, отсекаемая от него какой-либо плоскостью. Данная плоскость называется секущей. При этом в сечении образуется круг.
\(\textbf{Высота шарового сегмента}\ h\) \(-\) отрезок диаметра, перпендикулярного секущей плоскости. Один конец отрезка расположен на поверхности шара, другой …

Обозначение: S.

Показать определение

Фигура, которая образуется при пересечении тела с секущей плоскостью (то есть общая часть тела и секущей плоскости) называется \(\textbf{сечением}\) тела.

Примеры:

Сечение шара — круг.

Сечение сферы — окружность.

Конические сечения — окружность, эллипс, парабола, гипербола.

Сечение многогранника — многоугольник.

Показать определение

Многочлен \( f( x_1, \ldots, x_n ) \in F[ x_1, \ldots, x_n ] \) называется \( \textbf{симметрическим}, \) если \[
f( x_{\sigma}(1), \ldots, x_{\sigma}(n) ) = f( x_1, \ldots, x_n ), \quad \forall \sigma \in S_n.
\] Другими словами, многочлен называется симметрическим, если при любой перестановке его аргументов многочлен не меняется.

Ниже …

Показать определение

В декартовой системе координат на плоскости построим окружность единичного радиуса \((R=1)\) с центром в начале координат \(O\). Всякий угол станем рассматривать как поворот от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча \(OB\) (точку \(B\) выбираем на окружности), при этом направление поворота против часовой стрелки считаем положительным, а по часовой стрелке …

Обозначение: \(\sin \alpha, \cos \alpha, \mathop{\mathrm{tg}} \alpha, \mathop{\mathrm{ctg}} \alpha\)

Показать определение

\(\textbf{Система неравенств}\) есть система вида
\[\begin{equation}
\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
f_1 (x) \wedge_1 g_1 (x) \\
... \\
f_n (x) \wedge_1 g_n (x)
\end{array}\right.\,
\end{equation}\]

где \(\wedge_i\) \( - \) некоторый символ из \(>, <, \leq, \geq\), а \(f_i, g_i\) \( - \) некоторые функции.

Решением системы неравенств является такое множество значений переменной \(x\), …

Показать определение

\(\textbf{Системой счисления}\) называется некоторый метод записи чисел. Системы счисления бывают позиционные (в которых один и тот же знак (или цифра) имеет различные значения в зависимости от расположения в записи) и непозиционные (где это не так).

Десятичная система счисления является позиционной, поскольку в ней важно положения цифры в числе (мы …

Показать определение

\(\textbf{Система уравнений}\) есть система вида
\[\begin{equation}
\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
f_1 (x) = g_1 (x) \\
... \\
f_n (x) = g_n (x)
\end{array}\right.\,
\end{equation}\]

где \(f_i, g_i\) \( - \) некоторые функции.

Решением системы уравнений является такое множество значений переменной \(x\), которое удовлетворяет каждому уравнению из системы.

\(\textbf{Пример:}\)

\[\begin{equation}
\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
x^2 …

Показать определение

\(\textbf{Скалярным произведением}\) векторов \(\vec{a\vphantom{b}}\), \(\vec{b}\) называется величина
\[
(\vec{a\vphantom{b}}, \vec{b}) = |\vec{a\vphantom{b}}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \phi,
\]
где \(\phi\) — угол между векторами \(\vec{a\vphantom{b}}\), \(\vec{b}\); \(|\vec{a\vphantom{b}}|\) — длина вектора \(\vec{a\vphantom{b}}\).

\(\textit{Обозначение}\): \((\vec{a\vphantom{b}}, \vec{b\vphantom{a}})\) или \((a, b)\)

\(\href{https://examp.info/theorem/svojstva-skalyarnogo-proizvedeniya/}{\text{Свойства скалярного произведения}}\)

Показать определение

\(\textbf{Скрещивающиеся прямые}\) \( - \) это прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Показать определение

Подмножества, составленные из \(n\) элементов данного множества и содержащие \(k\) элементов в каждом подмножестве, называют \(\textbf{сочетаниями}\) из \(n\) элементов по \(k\).

Число сочетаний из \(n\) элементов по \(k\) обозначают \( C_n ^k\) и вычисляют по формуле \(\frac{n!}{k! (n - k)!} \), т.е. \( C_n ^k = \frac{n!}{k! (n - k)!} …

Обозначение: \( C_n ^k\).

Показать определение

Пусть \(m\) - данное натуральное число (\(m\geqslant 2\)). Целые числа \(a\) и \(b\) называются \(\textbf{сравнимыми по модулю \(m\)},\) если каждое из них при делении на \(m\) дает один и тот же остаток \(r.\) То есть: \[
a\equiv b\pmod m,
\] если существует такие целые числа \(q_1, q_2, r,\) что \(a=mq_1+r, \, b=mq_2+r
\), …

Обозначение: \(a \equiv b \pmod m\)

Показать определение

\(\textbf{Средняя линия}\) \( - \) отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры.

В качестве примера можно привести \(\href{https://examp.info/onedef/srednyaya-liniya-treugolnika/}{\text{среднюю линию треугольника}}\) или \(\href{https://examp.info/onedef/srednyaya-linyaya-trapecii/}{\text{среднюю линию трапеции}}\).

Показать определение

\(\textbf{Средней линией треугольника}\) называется отрезок, соединяющий середины каких-либо двух сторон.
Средняя линия треугольника обладает \(\href{https://examp.info/theorem/o-srednej-linii-treugolnika/}{\text{важным свойством}}\).
\(\href{}{\text{}}\)

Обозначение: \(MN\).

Показать определение

\(\textbf{Средней линией трапеции}\) называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Обозначение: \(MN\).

Показать определение

Пусть на плоскости прямая, проведенная через точку \(A\) пересекает окружность \(\Omega\) в точках \(B\) и \(C\). Степенью точки \(A\) относительно окружности, называют величину\[d(A)=\left\{\begin{array}{l}
+|AB|\cdot|AC|, \text{ если точка находится вне окружности,}\\
-|AB|\cdot|AC|, \text{ если точка находится внутри окружности.}
\end{array}\right.\]Проверим корректность введенного определения: для этого достаточно доказать, что величина \(|AB|\cdot|AC|\) не зависит …

Обозначение: \(\deg_{\Omega}A\); \(d(A)\).

Показать определение

Системой \(\textbf{стягивающихся (или вложенных) отрезков}\) называется такая система отрезков, длина которых \(\href{https://examp.info/onedef/predel-posledovatelnosti/}{стремится}\) к нулю.

Показать определение

\(\textbf{Сферой}\) называется геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от некоторой заданной точки, называемой \(\textbf{центром}\) сферы.

Показать определение

Последовательность \(\{x_n\}_{n=1}^\infty \subset X\) \(\textbf{сходится}\) в метрическом пространстве \((X, \rho)\):

\[
x_n \underset{n\to\infty}{\to} x
\]

тогда и только тогда, когда

\[
\rho(x_n, x) \underset{n\to\infty}{\to} 0.
\]

\(\textit{Пример:}\)

Рассмотрим метрическое пространство \((\mathbb{R}, d)\), где \(d(x,y) = |x-y|\) - стандартная метрика.
Последовательность \(x_n = \frac{1}{n}\) сходится к точке \(0\).

\(\text{Доказательство сходимости:}\)
Для любого \(\varepsilon > 0\) существует …

Показать определение

Ряд \(\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \) называется \(\textbf{сходящимся}\), если последовательность \(\{S_n\}\) его \(\href{https://examp.info/onedef/chastichnaya-summa-ryada/}{\text{частичных сумм}}\) сходится, т.е. имеет (конечный) предел, при этом число \(S= \lim\limits_{n \to \infty}S_n\) называют \(\textbf{суммой}\) этого ряда и пишут \(S=\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \).

Ряд \(\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \) называется \(\textbf{расходящимся}\), если последовательность \(\{S_n\}\) расходится.

Показать определение

\(\textbf{Таблица}\) \( - \) такой способ представления данных, при котором эти данные распределены по ячейкам, расположенным в некоторой строке и некотором столбце. Столбцы и строки обычно имеют название, а точнее отражают некоторое общее свойство данных, которые содержатся в этих, соответственно, строках или столбцах.

Показать определение

\(\textbf{Текстовая задача}\) \( - \) задача, которая сформулирована на естественном языке, а не на математическом. В текстовых задачах обычно рассматривается некая относительно реальная ситуация, к которой даны числовые данные (скорости велосипедистов, длина забора, количество яблок, объем раствора и так далее), и необходимо установить значение некоторого параметра или дать утвердительный или …

Показать определение

Пусть функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\) и имеет производную на интервале \((a, b)\). Тогда существует на интервале \((a, b)\) точка \(c\), для которой выполняется равенство
\begin{equation}
f(b) - f(a) = (b-a)f'(c) \label{eq1}
\end{equation}
причём \(a<c<b\).

Показать определение

Показать определение

Показать определение