Пусть \((X,\rho)\), \((Y,d)\) \(-\) \(\href{https://examp.info/onedef/metricheskoe-prostranstvo/}{\text{метрические пространства}}\) и \( f \colon (X, \rho) \to (Y, d).\)
Ясно, что \( f \colon X \to Y \) \(-\) отображение множеств.

Введем дополнительные понятия для отображений метрических пространств.

1)\(f - \textbf{непрерывное отображение}\) в точке \(x_0\), если \(\forall \varepsilon > 0\; \exists \delta = \delta(x_0, \varepsilon) > 0\) такое, что \(\forall x \in B_X(x_0, \delta)\)
\[ f(x) \in B_Y(f(x_0), \varepsilon) \]
или \(\forall x \in X\) таких, что \(\rho(x, x_0) < \delta\)
\[ d(f(x), f(x_0)) < \varepsilon. \]

\(f\) \(\textbf{непрерывно}\) в \(X\), если \(f\) непрерывно в каждой точке \(x \in X\).

\(\textit{Пример:}\)
Функция \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2\) непрерывна в любой точке \(x_0\in\mathbb{R}\).
Для \(\varepsilon>0\) можно взять \(\delta=\min\left(1,\frac{\varepsilon}{2|x_0|+1}\right)\). Тогда при \(|x-x_0|<\delta\):
\[
|f(x)-f(x_0)|=|x^2-x_0^2|=|x-x_0||x+x_0|<\delta(2|x_0|+\delta)<\varepsilon
\]

2)\(f - \textbf{равномерно непрерывно}\), если \(\forall \varepsilon > 0\; \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0\) такое, что
\[ \forall x, y \in X \quad \rho(x, y) < \delta \implies d(f(x), f(y)) < \varepsilon. \]

\(\textit{Пример:}\)
функция \( f\colon(0,1)\to\mathbb{R} \), \( f(x)=\sqrt{x} \) равномерно непрерывна, хотя и не является липшицевой.
Для \( \varepsilon>0 \) возьмём \( \delta=\varepsilon^2 \). Тогда для любых \( x,y\in(0,1) \) при \( |x-y|<\delta \):
\[
|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leq\sqrt{|x-y|}<\sqrt{\delta}=\varepsilon
\]

3)\(f \) \(\colon X \to Y - \textbf{липшицево}\), если \(\exists L = L(f) = \mathrm{const} \geq 0\) такое, что \(\forall x, y \in X\)
\[ d(f(x), f(y)) \leqslant L\rho(x, y). \]

Константа липшицевости определяется как
\[ \sup_{\substack{x,y \in X \\ x \neq y}} \frac{d(f(x), f(y))}{\rho(x, y)} = L(f). \]

Ясно, что липшицево отображение равномерно непрерывно.

\(\textit{Пример:}\)
Функция \( f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=2x+3 \) является липшицевой с константой \( L=2 \).
Для любых \( x,y\in\mathbb{R} \):
\[
|f(x)-f(y)|=|(2x+3)-(2y+3)|=2|x-y|
\]
Константа Липшица: \( L=2=\sup\limits_{x\neq y}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \)

4)\( f \) - \(\textbf{изометрия (изометричное отображение)}\) \( X \) в \( Y \), если
a)\( f \) - биекция;
б) \(\forall x, y \in X\)
\[ d(f(x), f(y)) = \rho(x, y).\]

Ясно, что изометрическое отображение является липшицевым с константой \( L \equiv 1\).
Если нарушается условие (a), то получим \(\textit{отображение, сохраняющее расстояние}\). Оно инъективно, и пункт (a) превращается в сюръекцию. Тогда говорят о \(\textit{частичной изометрии}\).

\(\text{Пример:}\)
Поворот плоскости \( f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 \), \( f(x,y)=(x\cos\theta-y\sin\theta,x\sin\theta+y\cos\theta) \) является изометрией.
Для любых \( (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{R}^2 \):
\[
\|f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)\|=\|(x_1-x_2,y_1-y_2)\|
\]
Отображение биективно и сохраняет расстояния.

\(\textbf{Пример (частичная изометрия):}\)
Вложение \( f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 \), \( f(x)=(x,0) \) сохраняет расстояния, но не является сюръективным.
Для любых \( x,y\in\mathbb{R} \):
\[
\|f(x)-f(y)\|=\sqrt{(x-y)^2+0^2}=|x-y|
\]
Отображение инъективно, но не биективно.

5)\( f \) \(-\) \(\textbf{сжимающее отображение}\), если
\[ f \colon X \to Y,\]
\(\exists r = \text{const} \in [0, 1)\) такое, что \(\forall x, y \in X\)
\[ d(f(x), f(y)) \leq r\rho(x, y).\]

Это частный случай липшицевости. Здесь \( L(f) = r < 1 \).

\(\textit{Пример:}\)
Функция \( f\colon[0,1]\to[0,1] \), \( f(x)=\frac{x}{2} \) является сжимающим отображением с коэффициентом \( r=\frac{1}{2} \).
Для любых \( x,y\in[0,1] \):
\[
|f(x)-f(y)|=\left|\frac{x}{2}-\frac{y}{2}\right|=\frac{1}{2}|x-y|
\]
Условие сжатия выполнено с \( r=\frac{1}{2}<1 \).