Матрица \( K(t,\tau) \) называется \(\textbf{матрицей Коши}\) или \(\textbf{импульсной матрицей}\).

Матрица Коши \( K(t, \tau) \) имеет следующую структуру:

\[
K(t, \tau) =
\begin{pmatrix}
k_{11}(t, \tau) & k_{12}(t, \tau) & \cdots & k_{1n}(t, \tau) \\
k_{21}(t, \tau) & k_{22}(t, \tau) & \cdots & k_{2n}(t, \tau) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
k_{n1}(t, \tau) & k_{n2}(t, \tau) & \cdots & k_{nn}(t, \tau)
\end{pmatrix},
\]

где каждый \(\textit{столбец}\) \( \vec{k}_i(t, \tau) \) представляет собой решение однородной системы с начальным условием:

\[
\vec{k}_i(\tau, \tau) = \vec{e}_i \quad \text{(базисный вектор)}.
\]

С помощью матрицы Коши решение задачи Коши может быть записано в виде:

\[
\vec{x}(t) = K(t,t_0)\vec{x}(t_0) + \int\limits_{t_0}^t K(t,\tau)\vec{F}(\tau)d\tau.
\]

\(\textit{Пример:}\)
Рассмотрим систему с постоянной матрицей:
\[
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
\]
Матрица Коши имеет вид:
\[
K(t, \tau) = e^{A(t-\tau)} = \begin{pmatrix}
e^{t-\tau} & 0 \\
0 & e^{2(t-\tau)}
\end{pmatrix}
\]

\(\textit{Пример:}\)
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:
\[
\dot{\vec{x}} = A \vec{x} + \vec{F}(t), \quad \text{где} \quad
A = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}, \quad
\vec{F}(t) = \begin{pmatrix}
t \\
0
\end{pmatrix}
\]

Решение задачи Коши выражается через матрицу Коши:
\[
\vec{x}(t) = K(t, t_0) \vec{x}(t_0) + \int_{t_0}^t K(t, \tau) \vec{F}(\tau) d\tau,
\]
где матрица Коши для данной системы:
\[
K(t, \tau) = \begin{pmatrix}
e^{t-\tau} & 0 \\
0 & e^{2(t-\tau)}
\end{pmatrix}
\]

Интеграл вычисляется следующим образом:
\[
\int_{t_0}^t
\begin{pmatrix}
e^{t-\tau} & 0 \\
0 & e^{2(t-\tau)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\tau \\
0
\end{pmatrix}
d\tau =
\begin{pmatrix}
e^t \int_{t_0}^t \tau e^{-\tau} d\tau \\
0
\end{pmatrix}
\]

Для вычисления интеграла можно использовать интегрирование по частям:
\[
\int \tau e^{-\tau} d\tau = -(\tau + 1)e^{-\tau} + C
\]