\(\bf {Комплексные}\) \(\bf{числа}\)
\(\it Введение \)
При рассмотрении действительных чисел (\(\in\mathbb{R}\)) отмечалось, что во множестве действительных чисел нельзя найти число, квадрат которого равен \((-1)\). При рассмотрение уравнений с отрицательным дискриминантом (\(D < 0\)) также отмечалось, что такие уравнения не имеют корней (решений). Чтобы подобные задачи были разрешимы, вводят новые числа - \( \it {комплексные}\) \( \it {числа}\).

Пусть \(a,b\) - действительные числа (\(a,b\in\mathbb{R}\)), \(i\) - специальный знак. Комплексным числом называют выражения вида \(a + bi\), при этом они подчинены правилам \(:\)

\(a)\) выражения вида \(a + bi\) и \(c + di\) считают \(\bf {равными}\) тогда и только тогда, когда \(a=c\) и \(b=d\), при этом пишут \(:\)

\(a + bi = c+di ;\)

\(b)\) \(\bf {суммой}\) выражения \(a + bi\) и \(c + di\) называют выражение \( (a+c) + (b+d)i \), при этом пишут \(:\)

\( (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i ;\)

\(c)\) \(\bf {произведением}\) выражений \(a + bi\) и \(c + di\) называют выражение \( (ac-bd) + (ad+bc)i \), при этом пишут \(:\)

\((a + bi)\cdot(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i ;\)

\(d)\) каждое \(\bf {выражение}\) вида \(a+0i\) отождествляют с действительным числом a (\(a\in\mathbb{R}\)), т.е выражение вида \(a+0i\) и число \(a\) не разделяют, при этом пишут \(:\) \(\bf a+0i = a ;\) в частности,\(\bf {выражение}\) \(\bf 0+0i\) и число \(0\) не различают и пишут \(:\) \(\bf 0+0i ;\)

\(e)\) каждое выражение вида \(0+bi\) отождествляют с выражением \(bi\) и и пишут \(:\) \(0+bi=bi;\) в частности, выражение \(0+1i\) отождествляют \(\bf {с выражением}\) \(i\) и пишут \(:\) \(0+1i=i\).

Чаще всего запись комплексного числа имеет такой вид\(:\) \(z=a+bi\) , где \(a, b -\) действительные числа (\(a,b\in\mathbb{R}\)), а \(i-\) \(\bf {мнимая }\) \(\bf {единица}\), где \(i^2=-1\).