Пара \((X, \rho)\) состоящая из \(X\) – произвольное множество и \(\rho : X \times X \to \mathbb{R}_0^+ = [0, +\infty)\) – функция расстояния (метрика) называется \(\textbf{метрическим пространством}\), если выполняются следующие аксиомы:

1) \(\forall x, y \in X \ \rho(x, y) \geqslant 0\), причем \(\rho(x, x) = 0 \iff x = y\);
2) \(\forall x, y \in X \ \rho(x, y) = \rho(y, x)\);
3) \(\forall x, y, z \in X \ \rho(x, y) \leqslant \rho(x, z) + \rho(z, y)\).

\(\textit{Примеры метрических пространств}\)

1) \(\mathbb{R}^n\) с элементами \(x\) вида
\[
x = (x_1, x_2, \ldots, x_n), \quad x_i \in \mathbb{R}^n,
\]
и метрикой
\[
\rho(x, y) = \left( \sum_{i=1}^n |x_i - y_i|^2 \right)^{1/2};
\]

2) \(C[a, b]\) – непрерывные на \([a, b]\) функции,
\[
\rho(f, g) = \max_{x \in [a, b]} |f(x) - g(x)|;
\]

3) Дискретное пространство: Здесь \(X\) – произвольное непустое множество,
\[
\rho(x, y) =
\begin{cases}
0, & x = y, \\
1, & x \neq y.
\end{cases}
\]