Напомним, что \(\textit{секущей}\) назыввется прямая, котороя пересекает график функций не менее чем в двух точках.
Пусть точки \(A(x_0,f(x_0))\) и \(B(x_1,f(x_1))\) принадлежат графику функции \(y=f(x).\) Проведем через них секущую \(AB.\) \(\textbf{Касательной к графику функции}\) \(f(x)\) в точке \(x=x_0\) называется предельное положение секущей при \(x_1\) стремящимся к \(x_0.\) Иными словами, касательная \(-\) прямая, которая получается из уравнения секущей \(AB\) при \(x_1\) стремящемся к \(x_0\) независимо от того, \(x_1\) находится слева или справа от \(x_0.\)

Получим уравнение касательной в точке \(x_0\). Пусть функция \(f\) дифференцируема в точке \(x_0.\) Напишем уравнение секущей \(AB\) \[
y=f(x_0)+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} (x-x_0).
\] Перейдем у пределу при \(x_1\) стремящемся к \(x_0\) и воспользуемся дифференцируемостью функции \(f\) в точке \(x_0:\) \[
\lim_{x_1\to x_0}f(x_0)+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_0)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).
\] Получили уравнение касательной \[
y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).
\] Тем самым мы доказали теорему о касательной.

Отметим, что не любая функция будет иметь касательную. Достаточно рассмотреть функцию \(y=|x|\) и точку \((0;0).\) Действительно, если \(x_1>0,\) то уравнение секущей будет иметь вид \(y=x,\) а если \(x_1<0,\) то уравнение секущей будет \(y=-x.\) перейти к пределу при \(x_1\to 0\) мы не можем, т.к. \[
\lim_{x_1\to 0^{+}}y=x, \quad \lim_{x_1\to 0^{-}}y=-x.
\]