Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Геометрическую прогрессию
\[ a_1, a_2, \dots, a_n, \dots \]
называют бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1: |q| < 1. Например, геометрическая прогрессия
\[ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots, \frac{1}{2^n}, \dots \]
бесконечно убывающая, потому что модуль её знаменателя меньше 1:
\[ |q| = \frac{1}{2} < 1. \]

Отметим, что для любой геометрической прогрессии формулу суммы первых n её членов можно переписать так:
\[ S_n = \frac{a_1}{1 - q} - \frac{a_1}{1 - q} \cdot q^n. \quad (1) \]

Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии второй член в правой части равенства (1) при неограниченном увеличении n стремится к нулю, но тогда левая часть равенства (1), т. е. \( S_n \), стремится к числу
\[ (2) \quad S = \frac{a_1}{1 - q}. \]

Это число \( S = \frac{a_1}{1 - q} \) называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии
\[ a_1, a_2, \dots, a_n, \dots \]
со знаменателем q ( |q| < 1 ).

Пишут:
\[ \frac{a_1}{1 - q} = a_1 + a_2 + \dots + a_n + \dots, \]
где
\[ a_n = a_1 q^{n-1}, \quad |q| < 1. \]