1) Вынос константы за знак интеграла.

Метод заключается в использовании свойства \( \int \left( C \cdot u \right) \, dx = C \cdot \int u \, dx\), где \(C\) - некоторая константа.

\(\textbf{Пример 1.}\)
\( \int \frac{2}{x} \, dx = 2 \int \frac{1}{x} \, dx = 2 \ln \left| x \right| + C.\)

2) Интегрирование разложением

Это приведение данного интеграла по свойству \(\int(u+v)dx\) =\(\int{u\,dx}\) +\(\int{v\,dx}\) к сумме более простых интегралов.

\(\textbf{Пример 2.}\)

\(\int(x^2+2x+\frac{1}{x})dx\)= \(\int{x^2dx}\)+\(\int{2xdx}\)+\(\int{\frac{1}{x}}\)=\(\frac{x^3}{3}\)+\(x^2\)+\(\ln |x|\)+C

3) Интегрирование подстановкой

Положив \(x=\phi\), \(dx=\phi '(x)du\), получим:

\(\int{f(x)dx}\)=\(\int{f(\phi (u)) \phi'(u)\,du}\)

Такое преобразование интеграла называется интегрированием подстановкой.

\(\textbf{Пример 3.}\)

\(\int{\cos3x\,dx}\) = Возьмём \(3x\)=\(u\), \(x=\dfrac{u}{3}\), \(dx=\dfrac{du}{3}\) = \(\int{\dfrac{\cos u}{3}}du\)=\(\dfrac{1}{3} \int{\cos u}du\)= \(\dfrac{1}{3} \cdot \sin u\)= \(\dfrac{1}{3} \cdot \sin 3x\) = \(\dfrac{\sin 3x}{3}\) +C

4) Интегрирование по частям

Из формулы дифференциала произведения \(d(uv)=udv+vdu\) получается формула интегрирования по частям:

\(\int{udv}=uv-\int{vdu}\)

Эта формула чаще всего применяется тогда, когда под интегралом имеется произведение алгебраическо и трансцендентной функции. При этом за \(u\) принимается функция, которая дифференцированием упрощается, а за \(dv\)-та часть подинтегрального выражения, содержащая \(dx\), интеграл от которой известен или можен быть найден. Из трансцендентных функций за \(u\) обычно принимают \(\ln x, \tan x, \arcsin x\).

\(\textbf{Пример 4.}\)

\(\int{x^2e^xdx}\)=|Берём \(x^2=u\), \(v=e^x\), тогда|=\(x^2e^x-\int{e^x \cdot 2xdx}\)=\(x^2e^x-2 \cdot \int{xe^xdx}\)=\(x^2e^x-2(xe^x-\int{e^xdx})\)= \(x^2e^x-2(xe^x-e^x)\)=\(x^2e^x-2xe^x+2e^x\) +C

\(\textbf{Пример 5.}\)

\(\int{x^2 \ln xdx}\)=|Возьмём \(\ln x=u\)|=\(\ln x \cdot \frac{x^3}{3}- \int{\frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x}dx}\)=\(ln(x) \cdot \frac{x^3}{3}-\frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3}\)+C

5) Интегрирование тригонометрических функций

а) Интегрирование от квадратов и других чётных степеней синуса и косинуса находят, применяя следующие формулы понижения степени:

- \(\sin^2 x=\frac{1- \cos 2x}{2}\)

- \(\cos^2 x=\frac{1+ \cos 2x}{2}\)

- \(\sin x \cos x=\frac{\sin 2x}{2}\)

b) Интегралы от кубов и других нечётных степеней синуса и косинуса находят, отделяя от нечётной степени один множитель и полагая конфункцию равной новому переменному \(u\)

\(\int{ \cos^m x \sin^n xdx}\) находится по правилу (а), если m и n оба чётные, и по правилу 2, если m и n нечётно.

\(\textbf{Пример 6.}\)

\(\int{\sin^2 3xdx}\)=\(\int{\frac{1- \cos 6x}{2}dx}\)=\(\frac{1}{2} \int{1- \cos 6xdx}\)=\(\frac{1}{2}\int{1dx} -\frac{1}{2}\int{\cos 6xdx}\)= \(\frac{x}{2}-\frac{1}{2} \cdot \frac{ \sin 6x}{6}\)+C

\(\textbf{Пример 7.}\)

\(\int{ \sin^5 xdx}\)=\(\int{\sin^4 x \sin xdx}\)=|\(u= \cos x=- \sin x\)\(dx=\frac{du}{- \sin x}\)|=\(\int{\sin^4 x \sin x\frac{du}{-\sin x}}\)=\(\int{(\sin x^2)^2du}\)=\(\int{-(1- \cos x^2)^2du}\)=\(\int{-(1-u^2)^2du}\)=\(\int{-(1-2u^2+u^4)du}\)=\(-u+\frac{2u^3}{3}-\frac{u^5}{5}\)=\(- \cos x+\frac{2 \cos x^3}{3}-\frac{ \cos x^5}{5}\)+C
6) Интегрирование подстановкой:

Уравнение \(Pdx+Qdy=0\) называется однородным, если \(P\) и \(Q\)- однородные функции от \(x\) и \(y\) одинакового измерения. Оно приводится к виду \(\frac{dy}{dx}=\phi(\frac{y}{x})\) и решается подстановкой \(\frac{y}{x}=u\) или \(y=ux\).

Доказательство

Доказательство в утверждениях.