\(\textit{1. Интегрирующий множитель зависит только от \( x \).}\)

Пусть существует такой множитель \( \mu(x, y) = \mu(x) \). Тогда уравнение
\[
\mu(x)P(x, y) \, dx + \mu(x)Q(x, y) \, dy = 0
\]
является уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, когда выполнено условие
\[
\frac{\partial (\mu(x)P(x, y))}{\partial y} = \frac{\partial (\mu(x)Q(x, y))}{\partial x}.
\]
Откуда
\[
\mu(x) \frac{\partial P(x, y)}{\partial y} = \mu'(x)Q(x, y) + \mu(x) \frac{\partial Q(x, y)}{\partial x},
\]
\[
\mu'(x)Q(x, y) = \mu(x) \left( \frac{\partial P(x, y)}{\partial y} - \frac{\partial Q(x, y)}{\partial x} \right),
\]
\[
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)} = \frac{\left( \frac{\partial P(x, y)}{\partial y} - \frac{\partial Q(x, y)}{\partial x} \right)}{Q(x, y)}.
\]

Так как левая часть последнего равенства зависит только от \( x \), то для существования интегрирующего множителя \( \mu(x) \) необходимо и достаточно, чтобы и правая часть этого равенства зависела только от \( x \):
\[
\frac{\partial P(x, y)}{\partial y} - \frac{\partial Q(x, y)}{\partial x} = \Psi(x),
\]
следовательно,
\[
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)} = \Psi(x).
\]

Решим это уравнение и получим
\[
\mu(x) = Ce^{\int \Psi(x) \, dx}.
\]

\(\textit{2. Интегрирующий множитель зависит только от \( y \): \(\mu(x, y) = \mu(y)\).}\)

Пусть существует такой множитель \(\mu(x, y) = \mu(y)\). Тогда уравнение
\[
\mu(y)P(x, y) \, dx + \mu(y)Q(x, y) \, dy = 0
\]
является уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, когда выполнено условие
\[
\frac{\partial (\mu(y)P(x, y))}{\partial y} = \frac{\partial (\mu(y)Q(x, y))}{\partial x}.
\]
Откуда
\[
\mu'(y)P(x, y) + \mu(y) \frac{\partial P(x, y)}{\partial y} = \mu(y) \frac{\partial Q(x, y)}{\partial x},
\]
\[
\frac{\mu'(y)}{\mu(y)} = \frac{\left( \frac{\partial Q(x, y)}{\partial x} - \frac{\partial P(x, y)}{\partial y} \right)}{P(x, y)}.
\]

Так как левая часть последнего равенства зависит только от \( y \), то для существования интегрирующего множителя \(\mu(y)\) необходимо и достаточно, чтобы и правая часть этого равенства зависела только от \( y \):
\[
\frac{\left( \frac{\partial Q(x, y)}{\partial x} - \frac{\partial P(x, y)}{\partial y} \right)}{P(x, y)} = \Psi(y),
\]
следовательно,
\[
\frac{\mu'(y)}{\mu(y)} = \Psi(y).
\]

Решим это уравнение и получим
\[
\mu(y) = C e^{\int \Psi(y) \, dy}.
\]

\(\textit{3. Интегрирующий множитель зависит от \(\omega(x, y)\): \(\mu(x, y) = \mu(\omega(x, y))\).}\)

Пусть существует такой множитель \(\mu(x, y) = \mu(\omega(x, y))\). Тогда уравнение
\[
\mu(\omega(x, y))P(x, y) \, dx + \mu(\omega(x, y))Q(x, y) \, dy = 0
\]
является уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, когда выполнено условие
\[
\frac{\partial (\mu(\omega(x, y))P(x, y))}{\partial y} = \frac{\partial (\mu(\omega(x, y))Q(x, y))}{\partial x}.
\]
Откуда
\[
\frac{\partial \mu}{\partial \omega} \cdot \frac{\partial \omega}{\partial y} P(x, y) + \mu(\omega(x, y)) \frac{\partial P(x, y)}{\partial y} = \frac{\partial \mu}{\partial \omega} \cdot \frac{\partial \omega}{\partial x} Q(x, y) + \mu(\omega(x, y)) \frac{\partial Q(x, y)}{\partial x},
\]
\[
\frac{\partial \mu}{\partial \omega} \left( \frac{\partial \omega}{\partial x} Q(x, y) - \frac{\partial \omega}{\partial y} P(x, y) \right) = \mu(\omega(x, y)) \left( \frac{\partial P(x, y)}{\partial y} - \frac{\partial Q(x, y)}{\partial x} \right),
\]
\[
\frac{\mu'(\omega)}{\mu(\omega)} = \frac{\left( \frac{\partial P(x, y)}{\partial y} - \frac{\partial Q(x, y)}{\partial x} \right)}{\frac{\partial \omega}{\partial x} Q(x, y) - \frac{\partial \omega}{\partial y} P(x, y)}.
\]

Так как левая часть последнего равенства зависит только от \(\omega\), то для существования интегрирующего множителя \(\mu(y)\) необходимо и достаточно, чтобы и правая часть этого равенства зависела только от \(\omega\):
\[
\frac{\frac{\partial P(x, y)}{\partial y} - \frac{\partial Q(x, y)}{\partial x}}{\frac{\partial \omega}{\partial x} Q(x, y) - \frac{\partial \omega}{\partial y} P(x, y)} = \Psi(\omega(x, y)).
\]

Проверяем последнее равенство, выбирая в качестве \(\omega(x, y)\) некоторые функции, например, \(x + y, xy, \frac{x}{y}, x^2 + y^2\) и т. д. И, решая уравнение
\[
\frac{d\mu}{\mu} = \Psi(\omega(x, y)) d\omega,
\]
получаем
\[
\mu = C e^{\int \Psi(\omega(x, y)) d\omega}.
\]

Доказательство

\(\)