Деление многочлена \( A=a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n\) на двучлен \((x-c)\) часто записывают с помощью таблицы-схемы Горнера:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
&a_0&a_1&a_2&…&a_{n-1}&a_n\\
\hline
c&b_0=a_0&b_1=cb_0+a_1&b_2=cb_1+a_2&&b_{n-1}=cb_{n-2}+a_{n-1}&r=cb_{n-1}+a_{n}\\
\hline
\end{array}

Получим: \( P(x)=(b_0x^{n-1}+b_1x^{n-2}+\ldots+b_{n-1})(x-c)+r\).

Доказательство

\(\textbf{Пример 1.}\)

Разделим многочлен \(3x^3+0x^2-2x-20\) на \(x-2\) c помощью схемы Горнера. Запишем в верхнюю строчку таблицы коэффициенты \(3,0,-2,-20\) данного многочлена. Рядом с нижней строчкой таблицы запишем число \(c=2\). В нижней строчке таблицы в результате вычислений получается коэффициенты частного (неполного частного) и остаток.

Коэффициент при старшем члене частного будет равен коэффициенту \(3\) при старшем члене данного многочлена \(-\) число \(3\) сносим в нижнюю строчку таблицы.

Далее \(2\) умножаем на \(3\) и прибавляем \(0\), результат 6 записываем в следующую клетку таблицы.

\(2\) умножаем на \(6\) и прибавляем \(-2\), результат \(10\) записывем в следующую клетку таблицы.

\(2\) умножаем на \(10\) и прибавляем \(-20\), результат \(0\) записываем в последнюю клетку таблицы.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
&3&0&-2&-20\\
\hline
2&3&6&10&0\\
\hline
\end{array}

Полученный результат означает, что коэффициенты частного при \(x^2, x\) и свободный член равны соответственно \(3,6,10\), а остаток равен \(0\) , что подтверждает результат, полученный делением уголком.

\(\textbf{Пример 2.}\)

\(2x^4-5x^3+5x-2 \) делим на \(x-\frac{1}{2}\). Получим \(2x^4-5x^3+5x-2=(2x^3-4x^2-2x+4)\cdot (x-\frac{1}{2})\).

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
&2&-5&0&5&-2\\
\hline
\frac12&2&-4&-2&4&0\\
\hline
\end{array}