Суть метода неопределённых коэффициентов заключается в следующем. Пусть требуется поделить многочлен:
\[P_n(x)=a_0x^n +a_1x^{n-1} + \ldots+a_{n-1}x+a_n\]
на многочлен
\[T_m(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+ \ldots +b_{m-1}x+b_m\]

где \(n \geqslant m\), \(a_1, \ldots , a_n\) и \(b_0, b_1, \ldots ,b_n\) \(-\) известные числа, причём \(a \neq 0\).

Представим частное \(Q(x)\) и остаток \(R(x)\) в виде: \(Q(x)=c_0x^{n-m}+c_1x^{n-m-1}+...+c_{n-m}\) и \(R(x)=d_0x^{m-1}+d_1x^{m-2}+ \ldots+d_{m-1}\), где коэффициенты \(c_i\) и \(d_j\) пока не определены, \(c_0 \neq 0\).

Потребуем, чтобы выполнялось равенство \(P_n(x)=T_m(x) \cdot Q(x)+R(x) \ \ \ \ \ \ (1)\).

Перемножая и складывая многочлен в правой части равенства (1) и приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях \(x\) в левой и правой частях (1), получим \(n+1\) равенство, для определения \(n+1\) коэффициенты \(c_0,c_1, \ldots ,c_{n-m},d_0,d_1, \ldots, d_{m-1}\).

Также метод неопределённых коэффициентов можно применять для разложения правильной рациональной дроби \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) , где \( P(x) \) и \( Q(x) \) — целые многочлены, причем степень числителя \( P(x) \) ниже степени знаменателя \( Q(x) \), на сумму простейших дробей. Далее \(a \ldots l - \) различные действительные корни многочлена \(Q(x)\), \(\alpha \ldots \lambda - \) натуральные числа (кратности корней).
Если \(Q(x) = (x-a)^{\alpha} \ldots (x-l)^{\lambda}\), то справедливо разложение дроби\(\frac{P(x)}{Q(x)}\) на простейшие дроби:
\[\frac{P(x)}{Q(x)} \equiv \frac{A_1}{x - a} + \frac{A_2}{\left(x - a \right)^2} + \ldots + \frac{A_{\alpha}}{\left(x - a \right)^{\alpha}} + \ldots + \frac{L_1}{x - l} + \frac{L_2}{\left(x - l \right)^2} + \ldots + \frac{L_\lambda}{\left(x - l \right)^{\lambda}}. \]
Для вычисления неопределенных коэффициентов \( A_1, A_2, \ldots, L_\lambda \) обе части этого тождества приводят к целому виду, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях переменной \( x \).
Если многочлен \( Q(x) \) имеет комплексные корни \( a \pm ib \) кратности \( k \), то в разложение (2) дополнительно войдут простейшие дроби вида
\[
\frac{M_1 x + N_1}{x^2 + px + q} + \cdots + \frac{M_k x + N_k}{(x^2 + px + q)^k},
\]
где \(x^2 + px + q = \left(x - \left(a + ib \right) \right) \left( x - \left(a - ib \right)\right)\) и \( M_1, N_1, \ldots, M_k, N_k \) — неопределенные коэффициенты, определяемые способами, указанными выше.

Доказательство

\(\textbf{Пример разложения многочлена}\).

Пусть \(P(x)=6x^4+5x^3-11x^2+9x-5\),а \(T(x)=3x^2+4x-5\). Найти многочлены \(Q(x)\) и \(R(x)\)такие , что \(P(x)=T(x) \cdot Q(x) +R(x)\).

\(\vartriangleright\) Положим \(Q(x)=c_0x^2+c_1x+c_2\) и \(R(x)=d_0x+d_1\). Запишем равенство \(6x^4+5x^3-11x^2+9x-5=(3x^2+4x-5) \cdot (c_0x^2+c_1x+c_2)+(d_0x+d_1)\).

Раскрывая скобки и приводя подобные, получим: \(6x^4+5x^3-11x^2+9x-5=3c_0x^4+(4c_0+3c_1)x^3+(-5c_0+4c_1+3c_2)x^2+(-5c_1+4c_2+d_0)x+(-5c_2+d_1)\).

По определению равенства многочленов получаем систему уравнений

\begin{equation*}
\begin{cases}
3c_0=6,\\
4c_0+3c_1=5,\\
-5c_0+4c_1+3c_2=-11,\\
-5c_1+4c_2+d_0=9,\\
-5c_1+4c_2+d_0=9,\\
-5c_2+d_1=-5.
\end{cases}
\end{equation*}

Отсюда находим \(c_0=2\), \(c_1=-1\), \(c_2=1\), \(d_0=0\), \(d_1=0\). Следовательно \( Q(x)=2x^2-x+1\) и \(R(x)=0\). \(\blacktriangleleft\)

\(\textbf{Пример разложения правильной рациональной дроби}\).
Необходимо разложить дробь \(\frac{x}{(x-1)(x+1)^2}\) на простейшие с помощью метода неопределённых коэффициентов. Имеем:
\[
\frac{x}{(x-1)(x+1)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B_1}{x+1} + \frac{B_2}{(x+1)^2}.
\]
Отсюда:
\[
x = A(x+1)^2 + B_1(x-1)(x+1) + B_2(x-1).
\]
Перепишем это равенство в виде
\[
x = (A+B_1)x^2 + (2A+B_2)x + (A-B_1-B_2).
\]
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях \( x \), получим

\[\left\{\begin{array}{l}
0 = A + B_1, \\
1 = 2A + B_2, \\
0 = A - B_1 - B_2.
\end{array}\right.\]

Решая эту систему, найдём \(A = \frac{1}{4}, \, B_1 = -\frac{1}{4}, \, B_2 = \frac{1}{2}.\) Таким образом искомое разложение имеет следующий вид:
\[
\frac{x}{(x-1)(x+1)^2} = \frac{\frac{1}{4}}{x-1} + \frac{-\frac{1}{4}}{x+1} + \frac{\frac{1}{2}}{(x+1)^2}.
\]