\[
\frac{dy}{dx} = f(x)g(y),
\]

Умножив уравнение на \(\frac{dx}{g(y)}\), получим

\[
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx, \\
&g(y) \neq 0,
\end{aligned}
\right.
\]

\(\Rightarrow\) \(y(x)\) – делаем проверку, подставляя в уравнение.

Далее интегрируем

\[
\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx + C,
\]

откуда находим решение в виде \(y = \varphi(x, C)\) или \(\psi(x, y, C) = 0\).

\(\textit{Замечание.}\)
Общее решение может не задаваться одной формулой. Иногда форма его записи зависит от способа записи постоянной или от метода интегрирования.

Доказательство

1) Рассмотрим уравнение вида \( y' = f(x) \).
Пусть \( f(x) \) непрерывна на интервале \((a, b)\), тогда из курса математического анализа имеем

\[
y = \int f(x)dx + C\tag{1}
\]

где под выражением \( \int f(x)dx \) мы будем понимать первую первообразную. Придавая константе \( C \) произвольные значения, получим все решения данного уравнения, то есть формула (1) задает общее решение. Запишем решение в виде

\[
y(x) = \int\limits_{x_0}^{x} f(x)dx + C, \, x_0 - \text{произвольное значение из интервала}.
\]

Отсюда \( y(x_0) = C \). Таким образом, придавая функции \( y(x) \) значение \( y_0 \) в точке \( x_0 \), получим частное решение, однозначно определяемое через \( x_0 \) и \( y_0 \).

2) Рассмотрим уравнение вида \( y' = f(y) \), где \( f(y) \) — непрерывная на \((a, b)\) функция.
Предположим, что для функции, задающей решение, \( y(x) = \varphi(x) \), существует обратная функция \( x = \psi(y) \). Тогда для нее имеем

\[
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{f(y)}, \, \text{ если } f(y) \neq 0.
\]

Значит, на интервале \((\alpha, \beta) \subset (\alpha, \theta): f(y) \neq 0\) при \(x \in (\alpha, \beta)\), получим

\[
x(y) = \int \frac{dy}{f(y)} + C\tag{2}
\]

Если \(x(y_{0}) = z_{0}\), то \(x(y) = z_{0} + \int\limits_{y_{0}}^{y} \frac{dy}{f(y)}\). Данная формула, как и формула (2), допускает обратную функцию, так как на \((\alpha, \beta)\) \(f(y) \neq 0\), а значит, \(f(y)\) сохраняет знак. Тогда \(x - z_{0}\) — монотонная функция от \(y\), а непрерывная и монотонная (не постоянная ни в каком интервале) функция имеет непрерывную и однозначную обратную. Очевидно, что это обратная функция удовлетворяет уравнению.

Ответить, что функции \(y \equiv y_{0}\), определяемые из уравнения \(f(y) = 0\), являются решениями.

3) Рассмотрим уравнение вида \(y' = f(x)g(y)\).

Формально разделим переменные:

\[
\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx.
\]

Из равенства дифференциалов следует, что их неопределенные интегралы различаются на константу:

\[
\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx + C\tag{3}
\]

Выясним, при каких условиях формула (3) определяет \(y\) как функцию от \(x\) в окрестности точки \((x_{0}, y_{0})\). Если \(y(x)\) — решение, то запишем уравнение \(y' = f(x)g(y) \quad\) в виде

\[
\frac{y'(x)}{g(y(x))} = f(x),
\]

умножим обе части на \(dx\) и проинтегрируем от \(x_{0}\) до \(x\):

\[
\int\limits_{x_{0}}^{x} \frac{y'(x)}{g(y(x))} dx = \int\limits_{x_{0}}^{x} f(x)dx,
\]

откуда, с учетом условия \(y(x_{0}) = y_{0}\), делая в первом интеграле замену переменных, получим

\[
\int\limits_{y_{0}}^{y} \frac{dy}{g(y)} = \int\limits_{x_{0}}^{x} f(x)dx.
\]

Обозначим

\[
\psi(x, y, z_{0}, y_{0}) = \int\limits_{y_{0}}^{y} \frac{dy}{g(y)} - \int\limits_{x_{0}}^{x} f(x)dx.
\]

По \(\href{https://examp.info/theorem/o-neyavnoj-funkcii/}{\text{теореме о неявной функции}}\) из этого равенства можно выразить \(y\) как функцию \(x\), \(z_{0}\), т.е. очевидно, что \(\psi(x_{0}, y_{0}, z_{0}, y_{0}) = 0\); далее, \(\left(\frac{\partial \psi}{\partial y}\right)_{x=x_{0}, y=y_{0}} = \frac{1}{g(y_{0})} \neq 0\), и имеет смысл при \(g(y_{0}) \neq 0\).

\(\textit{Рассмотрим линейное однородное уравнение}\)
\[
y' + p(x)y = 0.\tag{2}
\]

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[
\frac{dy}{dx} = -p(x)y; \quad \frac{dy}{y} = -p(x)dx.
\]

Заметим, что \( y = 0 \) является решением этого уравнения. Проинтегрировав правую и левую части, получим
\[
\ln |y| = -\int p(x)dx + \ln|C|,
\]
где \( \ln|C| \) — постоянная величина. Преобразуем выражение, используя \(\href{https://examp.info/theorem/svojstva-logarifmov/}{\text{свойства логарифма}}\) и, варьируя константу \( C \), опустим модуль. Тогда имеем
\[
\ln \frac{y}{C} = -\int p(x)dx.
\]

Выражая \( y \), получим общее решение уравнения (2):
\[
y = Ce^{-\int p(x)dx},
\]
причем решение \( y = 0 \) получается из общего решения при \( C = 0 \).

Можно записать решение в виде
\[
y = Ce^{-\int\limits_{x_0}^{x} p(x)dx},
\]
Тогда, полагая \( y_0 = y(x_0) \), определим константу \( C \):
\[
y = Ce^{-\int\limits_{x_0}^{x} p(x)dx} \Rightarrow C = y_0.
\]

Таким образом, получаем частное решение линейного неоднородного уравнения
\[
y = y_0 e^{-\int\limits_{x_0}^{x} p(x)dx}.
\]