Выделение полного квадрата \(-\) это тождественное преобразование, при котором заданный трёхчлен представляется в виде \((a \pm b)^2\) \(-\) суммы или разности квадрата двучлена и некоторого числового или буквенного выражения.

Доказательство

\(\textbf{Пример 1.}\)

Рассмотрим многочлен второй степень \(x^2+6x+5\) относительно переменной \(x\).

Этот многочлен можно преобразовать следующим образом: \(x^2+6x+5=x^2+2\cdot x \cdot 3+3^2 - 3^2+5=(x+3)^2-4\).

Мы представили 6\(x\) в виде удвоенного произведения \(x\) и 3, прибавили в к многочлену и вычли из него одно и тоже число \(3^2\), применили формулу квадрата суммы для двучлена \(x+3\).

Итак, получено равенство \(x^2+6x+5=(x+3)^2-4\), показывающее, что многочлен второй степени \(x^2+6x+5\) равен сумме квадрата двучлена \(x+3\) и числа -4. В этом случае говорят, что из многочлена \(x^2+6x+5\) выделили полный квадрат.

\(\textbf{Пример 2.}\)

Рассмотрим многочлен второй степени относительно \(x\):

\(x^2-8x\)

Проведём преобразование:

\(x^2-8x=x^2-2 \cdot x \cdot 4+4^2-4^2=(x-4)^2-16\)

Мы предствили \(8x\) в виде удвоенного произведения \(x\) и 4, прибавили к многочлену и вычли из него одно и тоже число \(4^2\) и применили формулу квадрат разности для двучлена \(x-4\).

Итак, получено равенство:

\(x^2-8x=(x-4)^2-16\)

показывающее, что многочлен второй степени \(x^2-8x\) равен сумме квадратов двучлена \(x-4\) и числа -16. Следовательно, из многочлена \(x^2-8x\) выделен полный квадрат

Таким образом, можно выделить полный квадрат из любого многочлена второй степени относительно \(x\) с коэффициентом при \(x^2\) , равным 1, т.е. записать этот многочлен в виде суммы квадрта двучлена и числа. Приведём ещё примеры выделения полного квадрата из многочлена второй степени относительно \(x\) .

\(\textbf{Пример 3.}\)

\(x^2+x+1=x^2+2 \cdot x \cdot 0,5+ 0,5^2-0,5^2+1=(x+0,5)^2+0,75\)

\(\textbf{Пример 4.}\)

\(x^2-6x+9=x^2-2 \cdot x \cdot 3+ 3^2-3^2+9= (x-3)^2\)

Можно выделить полный квадрат и из многочлена второй степени относительно \(x\) с коэфффициентом при \(x^2\) , отличным от 1.

\(\textbf{Пример 5.}\)

a) \(16x^2+24x+1=(4x)^2+2 \cdot 4x \cdot 3+ 3^2-3^2+1=(4x+3)^2-8\)

б) \(3x^2+6x+1=3(x^2+2x)+1=3(x^2+2x \cdot 1 + 1^2-1^2)+1=3(x+1)^2-2\)

\(\textbf{Пример 6.}\)
\(4x^2-8x+3=(2x)^2-2 \cdot2\cdot2x+3= (2x)^2-2 \cdot2\cdot2x+3-4+4=(2x-2)^2-1\)

Выделение полного квадрата часто используется для доказательства числовых неравенств:

\(\textbf{Пример 7.}\)

Докажем, что для любого числа \(x\) верно неравенство:

a)\(x^2+6x+9 \geqslant 0\); б) \(x^2+4x+4,1 > 0\)

Доказательство:
а) Т.к.

\(x^2+6x+9=(x+3)^2\)
и для любого числа \(x\) имеем \((x+3)^2 \geqslant 0\),то для любого числа \(x\) верно нервенство

\(x^2+6x+9 \geqslant 0\)

что и требовалось доказать.

б)Т.к.

\(x^2+4x+4,1=(x+2)^2+0,1\)

и для любого числа \(x\) имеем \((x+2)^2 \geqslant 0\) , то для любого \(x\) числа верно неравенство

\(x^2+4x+4,1>0\)

что и требовалось доказать.

\(\textbf{Пример 7.}\)

Докажем, что для любых чисел \(x\) и \(y\) верно неравенство

\(x^2+y^2+6x-14y+58 \geqslant 0\)

Доказательство:

Т.к.

\(x^2+y^2+6x-14y+58=(x+3)^2+(y-7)^2\)

и для любого числа \(x\) верно неравенство \((x+3)^2 \geqslant 0\), а для любого числа \(y\) верно неравенство \((y-7)^2 \geqslant 0\) ,то для любых чисел \(x\) и \(y\) верны неравенства

\((x+3)^2+(y-7)^2 \geqslant 0\) и \(x^2+y^2+6x-14y+58 \geqslant 0\)

что и требовалось доказать.