Положим \(t=\mathop{\mathrm{tg}}\left(\frac{x}{2}\right)\) и \(\cos \frac{x}{2}\neq 0.\) Тогда имеют место следующие формулы
\begin{gather*}
\sin x=\frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} \quad \forall t;\\
\mathop{\mathrm{tg}} x=\frac{2t}{1-t^2} \quad t\neq\pm 1.
\end{gather*}
\(\textbf{Замечание.}\) \[\cos\frac{x}{2}=0\Leftrightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Leftrightarrow
x=\pi+2\pi n \Leftrightarrow \cos x=\pm 1.
\]

Доказательство

Пусть \(\cos\frac{x}{2}\neq 0.\)
\begin{gather*}
\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\frac{2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\sin ^2\frac{x}{2}+\cos ^2\frac{x}{2}}=\\
\dfrac{\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}}}{\frac{\sin^2\frac{x}{2}+\cos ^2 \frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}}}= \frac{2t}{t^2+1}.
\\
\cos x =\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}=\frac{\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}}{\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}}=\\
\dfrac{\frac{\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}}}{\frac{\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}}}=\frac{1-t^2}{1+t^2}.
\end{gather*}
Пусть, дополнительно, \(t\neq \pm 1.\)
\begin{gather*}
\mathop{\mathrm{tg}}x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{2t}{1-t^2}, \quad t\neq \pm1.
\end{gather*}