Уравнение \(Pdx+Qdy=0\) называется \(\href{https://examp.info/onedef/odnorodnoe-differencialnoe-uravnenie-first-order/}{\text{однородным}}\), если \(P\) и \(Q\) \(-\) \(\href{https://examp.info/onedef/odnorodnaya-funkciya-stepeni-n/}{\text{однородные функции}}\) от \(x\) и \(y\) одинакового измерения. Оно приводится к виду \(\frac{dy}{dx}=\phi(\frac{y}{x})\) и решается подстановкой \(\frac{y}{x}=u\) или \(y=ux\).

Доказательство

Однородное дифференциальное уравнение решается методом замены переменных. Именно, вместо неизвестной функции \( y \) введем неизвестную функцию \( z \), положив \( z = \frac{y}{x} \). Подставляя в \(\href{https://examp.info/onedef/odnorodnoe-uravnenie-stepeni-n/}{\text{уравнение}}\) \( y = zx \), с учетом того, что по правилу дифференцирования произведения \( y' = z'x + zx' = z'x + z \), для новой неизвестной функции \( z \) получим дифференциальное уравнение
\[
z'x + z = f(z),
\]
которое является \(\href{https://examp.info/onedef/uravneniya-s-razdelyayushimisya-peremennymi/}{\text{уравнением с разделяющимися переменными}}\).

Уравнение вида \(y' = f\left(\frac{a_1x + b_1y + c_1}{a_2x + b_2y + c_2}\right)\) приводится к однородному с помощью замены \( x = \xi + \alpha \), \( y = \eta + \beta \), где \( \xi, \eta \) — новые переменные, \( (\alpha, \beta) \) — точка пересечения прямых \( a_1x + b_1y + c_1 = 0 \) и \( a_2x + b_2y + c_2 = 0 \). Если эти прямые не пересекаются, то \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = k \); следовательно, уравнение имеет вид \( y' = f(ax + by) \)

Некоторые уравнения можно привести к однородным заменой \( y = z^m \). Чтобы найти число \( m \), надо в уравнении сделать замену \( y = z^m \). После замены найдем \( m \), при котором выполняется условие (1). Если такого числа \( m \) не существует, то уравнение не приводится к однородному этим способом.