Уравнение Бернулли \(y’+Py=Qy^n\)решается так же, как и линейное, подстановкой \(y=uv\) или вариацией произвольной постоянной. Уравнение Бернулли приводится к линейному подстановкой \(z=y^{1-n}\).

Доказательство

Для решения нужно обе части поделить на \(y^n\), но нужно соблюдать внимательность: теряется решение \(y = 0\). Получим:
\[
\frac{y'}{y^n} + \frac{P(x)}{y^{n-1}} = Q(x).
\]
Теперь можно сделать замену \(z=y^{1-n}\) (тогда \(z' = (1-n)y^{-n}y'\)):
\[
\frac{z'}{1-n} + P(x)z = Q(x).
\]
Получено \(\href{https://examp.info/theorem/resheniya-linejnyh-differencialnyh-uravnenij-pervogo-poryadka/}{\text{линейное неоднородное уравнение первого порядка}}\).