Сначала рассмотрим уравнения вида \(A\sin x+B\cos x=C\) (0), где \(A,B,C\) - данные числа и \(A\cdot B \neq 0.\)

Так как \(A^2+B^2>0\), то, разделив обе части уравнения на число \(\sqrt{A^2+B^2 \neq 0},\) перепишем уравнение в виде
\[a\sin x+b\cos x=c \ \ \ \ \ (1) \]
где \(a=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\), \(b=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\), \(c=\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}\).

Так как \(a^2+b^2=1\),то можно подобрать такой угол \(\alpha\), что \(a=\sin\alpha\) и \(b=\cos\alpha\). Уравнение (1) можно записать в виде

\[\cos x\cos\alpha+\sin x\sin\alpha=c\]

или

\[\cos(x-\alpha)=c \ \ \ \ \ (2)\]

Если подобрать такой угол \(\beta\), что \(a=\cos\beta\) и \(b=\sin\beta\),то уравнение (1) можно записать в виде

\[\sin(x+\beta)=c \ \ \ \ \ (3)\]

Таким образом, решение уравнения (0) сводится к решению простейшего уравнения (2) или (3).

Доказательство

\(\textbf{Пример 1}\)

Решим уравнение

\(5\sin x-12\cos x=0\) (4)

Разделив обе части уравнения (4) на число \(\sqrt{5^2+12^2=13}\), подберём такой угол \(\alpha\), что \(\cos\alpha=\frac{5}{13}\) \(\sin\alpha=\frac{12}{13}\), например \(\alpha=\arcsin\frac{12}{13}\). Тогда уравнение (4) перепишем в виде

\(\sin(x-\alpha)=0\) (5)

Все решения уравнения (5) задаются формулой \(x_k-\alpha=\pi k\), \(k \in Z\), откуда получаем, что уравнение (4) имеет единственную серию решений \(x_k=\arcsin\frac{12}{13}+\pi k\), \(k \in Z\).

Теперь рассмотрим неравенства вида

\(A\sin x+B\cos x>C\)

где \(A,B,C\)-данные числа и \(AB \neq 0\)

Введение вспомогательного угла позволяет свести решение таких неравенств к решению простейших неравенств.

\(\textbf{Пример 2}\)

Решим Неравенство

\(\sin x-\sqrt{3}\cos x<-1\) (6)

Разделив обе части неравенства (6) на число \(\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2\), перепишем его в виде

\(\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x<-\frac{1}{2}\) (7)

Так как \(\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}\), а \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin\frac{\pi}{3}\),то неравенство (7) перепишется в виде

\(\sin(x-\frac{\pi}{3})<-\frac{1}{2}\). (8)

Все решения неравенства (8) задаются условиями

\(-\frac{5\pi}{6}+2n\pi<x-\frac{\pi}{3}<-\frac{\pi}{6}+2n\pi\), \(n\in Z\).

Отсюда получаем, что все решения неравенства (6) есть серия интервалов

\((-\frac{\pi}{2}+2n\pi;\frac{\pi}{6}+2n\pi)\),\(n\in Z\).