Метод рационализации \(-\) это весьма мощный метод, позволяющий в определённых случаях упростить неравенство и свести его к \(\href{https://examp.info/onedef/racionalnoe-neravenstvo/}{\text{рациональному неравенству}}\), используя следующий факт: если \(f(x)\) \(-\) монотонно возрастающая функция, то разность \(f(a) - f(b)\) совпадает по знаку с разностью \(a-b\).

Доказательство

Предположим, что имеется монотонно возрастающая функция \(f(x)\). Пусть числа \(a\) и \(b\) принадлежат области определения данной функции. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) Неравенство \(f(a) < f(b)\) эквивалентно неравенству \(a < b\), или \(f(a) - f(b) < 0\) эквивалентно \(a - b < 0\);
2) Аналогично, неравенство \(f(a) - f(b) > 0\) эквивалентно \(a - b > 0\).
Как работает этот метод на практике? Пусть имеется неравенство вида \begin{equation}
\frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(b)}
\end{equation}
где \(f(x)\) и \(g(x)\) \(-\) монотонно возрастающие функции. Тогда неравенство (1) эквивалентно неравенству
\begin{equation}
\frac{x-a}{x-b}
\end{equation}
которое можно решить при помощи метода интервалов.
При этом неравенство (2) \(-\) следствие неравенства (1). То есть все решения (1) содержатся в решении неравенства (2), но могут быть и другие. Чтобы откинуть ненужные нам решения, достаточно пересечь решение неравенства (2) и область определения функций \(f(x)\) и \(g(x)\).

\(\textbf{Примеры решения задач}\)

\(\textbf{ Задача 1.}\) Решите неравенство: \(\log_{x^2}(x+2)<1\)

Решение: Перейдем в неравенстве к какому-нибудь постоянному основанию, например к основанию 10, получим:
\begin{equation*}
\frac{\lg(x+2)}{\lg(x^2)}-1<0
\end{equation*}
Т.к. мы хотим получить разность как в числители, так и в знаменателе, вычтем из знаменателя \(\lg 1 = 0:\)
\begin{equation*}
\frac{\lg(x+2) - \lg(x^2)}{\lg(x^2)-\lg1}
\end{equation*}
Заметим, что \(y = \lg x\) \(-\) монотонно возрастающая функция, а значит, используя метод рационализации, мы можем сказать, что знак числителя совпадает со знаком \(x+2-x^2\), а знак знаменателя совпадает со знаком \(x^2 -1\), получаем систему неравенств, равносильную первоначальному неравенству:
\begin{equation*}
\begin{cases}
\frac{x + 2 - x^2}{x^2-1} < 0,\\
x + 2> 0,\\
x^2>0.\\

\end{cases}
\end{equation*}

Которая решается преобразованием первого неравенства к виду:
\begin{equation*}
\frac{(x+1)(x-2)}{(x+1)(x-1)}>0
\end{equation*}
Используем метод интервалов и получаем решение первого неравенства системы:
\begin{equation*}
x < -1, -1 < x < 1, x > 2.
\end{equation*}
и пересекаем с множествами решений второго и третьего неравенства нашей системы \begin{equation*}
-2 < x < 0, x > 0.
\end{equation*}
\(\textit{Ответ:}(-2;-1) \cup (-1;0) \cup (0;1) \cup (2;+\infty)\).

\(\textbf{Задача 2.} \textit{(МГУ. ДВИ. 2011)}\) Решите неравенство: \begin{equation*}
\frac{\sqrt{1-3x}-1}{\sqrt{2+x}-1}<1
\end{equation*}

Решение: Для начала займемся равносильными преобразованиями:
\begin{equation*}
\frac{\sqrt{1-3x}-1}{\sqrt{2+x}-1}<1 \iff \frac{\sqrt{1-3x}-\sqrt{2+x}}{\sqrt{2+x}-1} < 0.
\end{equation*}
Так как функция \(y = \sqrt{x}\) монотонно возрастает, то мы можем воспользоваться методом рационализации, получаем равносильность нашего неравенства системе:
\begin{equation*}
\begin{cases}
\frac{(1-3x)-(2+x)}{(2+x)-1}<0,\\
1-3x \geqslant 0,\\
2 + x \geqslant 0.
\end{cases}
\end{equation*}
Которая сводится к системе неравенств:
\begin{equation*}
\begin{cases}
\frac{4x+1}{x+1} < 0,\\
x \leqslant \frac{1}{3},\\
x \geqslant -2.
\end{cases}
\end{equation*}
Эта система решается методом интервалов.
\(\textit{Ответ:} [-2;-1) \cup (-\frac{1}{4};\frac{1}{3}]\).