Для любого действительного числа \(a\) верно равенство \(\sqrt{a^2} = |a|\).

Доказательство

По определению арифметического квадратного корня \((\sqrt{a^2})^2 = a^2\).
Покажем, что \(|a|^2 = a^2\). Действительно, если \(a \geqslant 0\), то \(|a| = a\), тогда \(|a|^2 = a^2\); если \(a < 0\), то \(|a| = -a\), тогда \(|a|^2 = (-a)^2 = a^2\).

\(\textbf{Выделение полного квадрата под корнем:}\)
Если подкоренное выражение в сложном радикале \(\sqrt{a + b\sqrt{c}}\) представляет собой полный квадрат, то можно освободиться от внешнего корня, применив тождество \(\sqrt{a^2} = |a|\)
\(\textbf{Пример:}\)
\(\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{1 + 3 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(1 - \sqrt{3})^2} = |1 - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1\)

\(\textbf{Метод неопределенных коэффициентов:}\)
Если устный подбор полного квадрата под внешним корнем сложного радикала затруднителен, можно попытаться выделить полный квадрат методом неопределенных коэффициентов
\(\textbf{Пример:}\)
\(\sqrt{11 - 6\sqrt{2}}\)
Пусть существуют целые \(x\) и \(y\) такие, что
\(\left\{\begin{array}{l}
\sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = x - y\sqrt{2} \\
x - y\sqrt{2} \geqslant 0
\end{array}\right.\)
Возведем уравнение системы в квадрат, получим систему:
\(\left\{\begin{array}{l}
x^2 + 2y^2 = 11 \\
xy = 3
\end{array}\right.\)
Тогда для целых \(x\) и \(y\) возможны следующие варианты: (3;1), (1;3), (-3;-1), (-1; -3). Второй и третий не удовлетворяют \(x - y\sqrt{2} \geqslant 0\). При четвертом не выполняется уравнение \(x^2 + 2y^2 = 11\). А первый удовлетворяет всему вышеперечисленному.
Следовательно: \(\sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = 3 - \sqrt{2}\)

\(\textbf{Применение формул сложных радикалов}\)
В некоторых примерах удается освободиться от внешнего корня с помощью формул сложных радикалов:
\(\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}\)
В случае если \(a^2 - b\) является точным квадратом, эти формулы позволяют представить сложный радикал в виде суммы двух простых радикалов.
Эти формулы можно легко доказать, убедившись в том, что левая и правая части при \(a \geqslant 0, b \geqslant 0, a^2 - b \geqslant 0\) неотрицательны, и возведя обе части формул в квадрат.
\(\textbf{Пример:}\)
\(\sqrt{5 - \sqrt{24}} = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{25 - 24}}{2}} - \sqrt{\frac{5 - \sqrt{25 - 24}}{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}\)