Математическая индукция — метод математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел.

Доказательство

Доказательство справедливости утверждений, зависящих от натурального числа \(n\), обычно проводят с помощью принципа \(\textit{математической индукции}\):

Если свойства, зависящее от натурального числа \(n\):
1) верно при \(n=1\),
2) из предположения, что оно верно для \(n=k\) следует, что оно верно при \(n=k+1\),
то считают, что это свойство верно для любого натурального числа \(n\).

Доказательство, основанное на принципе математической индукции, называют \(\textit{доказательством по индукции}\) или \(\textit{доказательством методом математической индукции}\).

\(\textbf{Пример 1.}\)

Пусть надо доказать, что если \(а>0\), то для любого натурального числа \(n\)

\(a^n > 0 \ \ \ \ \ \ (1)\)

Согласно принципу математической индукции, для того чтобы считать верным неравенством для всех натуральных n, достаточно проверить выполнение двух утверждений:

1) неравенство (1) справедливо для \(n=1\);

2) если предположить, что для некоторого \(n=k\) неравенство (1) справедливо, т.е. что имеет место неравенство \(a^k >0\), то оно справедливо и для \(n=k+1\), т.е. имеет место неравенство \(a^k+1 >0\).

Утверждение 1 выполняется, потому что, положив в неравенстве (1) \(n=1\), получим неравенство \(а>0\), верное по условию.

Утверждение 2 тоже выполняется, ведь если предположить верным неравенство \(a^k >0\), то после умножения его на положительное число а получим по свойству верное неравенство \( a^k+1 >0\).

Таким образом, утверждение 1 и 2 выполняются. Но тогда согласно принципу математической индукции неравенство (1) верно для любого натурального числа \(n\).

\(\textbf{Пример 2.}\)

Докажем, что для любого натурального числа \(n\) сумма \(n\) первых нечётных натуральных чисел равна \(n^2\):

\(1+3+...+(2n-1)=n^2 \ \ \ \ \ \ (2\))

При \(n=1\) равенство (2) верно: \(1=1^2\)

Предположим, что равенство (2) верно при некотором \( n=k\), т.е. что верно равенство.

\(1+3+...+(2k-1)=k^2\)

Докажем, что равенство (2) верно при \(n=k+1\), т.е. что

\(1+3+...+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)^2\)

Пользуясь нашим предположением, заменим сумму первых \(k\) слагаемых на \(k^2\)

\(1+3+...+(2k-1)+(2k+1)=k^2+(2k+1)=k+1^2\).

Тем самым доказано, что если равенство (2) верно при \(n=k\), то оно верно и при \(n=k+1\).

Тогда согласно принципу математической индукции равенство (2) верно для любого натурального числа \(n\).

\(\textbf{Пример 3.}\)

Докажем, что для любого числа b \(\geqslant\) -1 и любого натурального числа n справедливо неравенство

\((1+b)^n \geqslant 1+nb \ \ \ \ \ \ (3)\)

Действительно, так как \((1+b)^1 =1+b\), то при \(n=1\) неравенство (3) выполняется.

Предположим, что неравенство (3) выполняется при \(n=k\), т.е. верно неравенство

\((1+b)^k \geqslant 1+kb\).

Так как 1+b \(\geqslant \) 0, то

\((1+b)^k+1 = (1+b)^k \cdot (1+b) \geqslant (1+kb) \cdot (1+b) = 1+ (k+1)b+ kb^2 \geqslant 1+(k+1)b\)

т.е. мы доказали неравенство (3) для \(n=k+1\)

Но тогда согласно принципу математической индукции неравенство (3) верно при любом натуральном \(n\).

Заметим, что не только доказательство приведённого в примере 1 свойства, но и определение \(n\)-й степени, строго говоря, надо давать по индукции.

Например, говорят, что \( a^n\) для натурального \(n\) есть число, которое определяется следующим образом:

\(a^1 = a\) и \(a^{k+1}=a^k \cdot a \ \ \ \ \ \ \ (4)\)

для любого натурального k.

Пользуясь этим определением, получим, например, что

\(a^5 = a^4 \cdot a = a^3 \cdot a \cdot a= a^2 \cdot a \cdot a \cdot a= a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a\).

\(\textbf{Пример 4.}\)

Докажем, что для любого действительного числа а и любых натуральных чисел m и n справедливо равенство

\(a^m \cdot a^n = a^{m+n} \ \ \ \ \ \ \ (5)\)

Зададим произвольное натуральное m и будем, индукцию по n.

При n=1 равенство (5) верно по определению степени с натуральным показателем:

\(a^m \cdot a^1 = a^{m+1}\).

Пусть теперь равенство (5) верно при n=k:

\(a^m \cdot a^k = a^{m+k} \ \ \ \ \ \ \ \ (6)\)

Тогда, применяя равенство (6), по определению степени имеем

\(a^m \cdot a^{k+1} = a^m \cdot a^k \cdot a^1 = a^{m+k} \cdot a^1 = a^{m+k+1}\), т.е.

\(a^m \cdot a^{k+1} = a^{m+k+1}\)

и мы доказали равенство (5) для n=k+1.

Но тогда согласно принципу мат. индукции равенство (5) верно для любого натурального n при произвольно выбранном м, т.е. равенство (5) верно для любых натуральных m и n.

\(\textit{ОБА ШАГА В ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ МЕТОДОМ МАТ. ИНДУКЦИИ ОЧЕНЬ ВАЖНЫ, НИ ОДИН ИЗ НИХ НЕЛЬЗЯ ПРОПУСКАТЬ!}\)