Пусть, например, требуется решить неравенство \[(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)>0 \quad (1)\] или \[(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)<0 \quad (2),\] где \(x_1<x_2<x_3\).

Отметим на оси \(Ох\) точки \(x_1, x_2, x_3\).

Рассмотрим многочлен \(A(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\) (3)

Для любого \(x\), находящего справа от \(x_3\), любой двучлен в произведении (3) положителен, так как точка \(x\) находится правее точек \(x_1,x_2,x_3\). Поэтому и \(A(x)>0\) для любого \(x\) принадлежащего интервалу \((x_3;+\infty)\).

Для любого \(x\), находящегося между точками \(x_2\) и \(x_3\), любой двучлен в произведении (3) отрицателен, так как \(х\) находится левее точки \(x_3\), а любой из остальных множителей положителен, так как точка \(x\) находится правее точек \(x_1\) и \(x_2\). Поэтому и \(А(x)<0\) для любого \(x\), принадлежащего интервалу \((x_2;x_3)\).

Аналогично рассуждая, получим, что \(A(x)>0\) для любого \(x\) из интервала \((x_1;x_2)\) и \(A(x)<0\) для любого \(x\) из интервала \((-\infty,x_1)\).

На этом рассуждении основан метод интервалов решения неравенств (1) и (2), состоящий в следующем: на оси \(Ох\) отмечают точки \(x_1,x_2,x_3\), над интервалом \((x_3;+\infty)\) ставят знак "+" над интервалом \((x_2;x_3)\) \(-\) знак "-", над интервалом \((x_1;x_2)\) \(-\) знак "+", над интервалом \((-\infty;x_1)\) \(-\) знак "-". (рис. 1)

Тогда множество решений неравенства (1) будет состоять из всех интервалов, над которыми поставлен знак "+", а множество решений неравенства (2) будет состоять из всех интервалов, над которыми стоит знак "-".

Причём сами числа \(x_1,x_2, x_3\) не являются решением неравенств (1) и (2). Это объясняется тем, что множества решений этих неравенств состоят из интервалов, а не из отрезков или полуинтервалов. Числа \(x_1,x_2,x_3\) обращают в ноль многочлен (3). Эти числа являются корнями многочлена. Таким образом, корни многочлена \(A(x)\) не являются решениями неравенств (1) и (2).

Доказательство

\(\textbf{Решим неравенство:}\)

\((x-1)^3(x-2)^2(x-3)^4(x-4)<0\)

Для решения таких неравенств обычно применяют общий метод интервалов, состоящий в следующем: отметим на оси \(Ox\) точки \(1,2,3,4\), а затем в каждую из интервалов:

\((-\infty;1),(1;2),(2;3),(3;4),(4;+\infty)\)

исследуем знак многочлена:

\(A(x)=(x-1)^3(x-2)^2(x-3)^4(x-4)\)

При исследовании знака многочлена над промежутком справа от наибольшего корня этого многочлена ставят знак "+", так как на этом промежутке все множители положительны. Затем, двигаясь справа налево, при множители положительны. Затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередной корень меняют знак, если соответствующий этому корню двучлен возведён в нечётную степень, и сохраняют знак, еси он возведён в чётную степень, так как знак двучлена и его нечётной степени совпадают, а чётная степень двучлена всюду положительна, кроме корня этого двучлена. Над каждым интервалом поставим найденный знак "+" или "-".

Исследуем знак многочлена в каждом из интервалов. Над интервалами должны стоять знаки, как на (рис.2). Поскольку \(x>4\) при все множители положительны, в точке 4 произведение меняет знак, так как разность \((x-4)\) возведена в нечётную степень 1; в точках 3 и 2 произведение не меняет знака, поскольку разности \((x-3)\) и \((x-2)\) возведены в чётную степень; в точке 1 произведение меняет знак, так как разность \((x-1)\) возведена в нечётную степень. Тогда множество всех решений неравенства будет состоять из всех интервалов, над которыми поставлен знак "-". Поэтому множество всех решений неравенства состоит из объединения трёх интервалов\((1;2),(2;3),(3;4)\) (рис.2).