Дифференциальное уравнение называется \(\textbf{линейным}\), если оно первой степени относительно искомой функции \(y\) и всех её производных. Линейное уравнение первого порядка имеет вид \( y’+P(x)y=Q(x)\). Оно сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой \(y=uv\).

Другой способ решения (вариация произвольной постоянной) состоит в том, что сначала решаем уравнение \( y’+Py=0\); получаем \(y=Ae^{-\int Pdx}\). Подставляем это решение в данное уравнение, считая \(A\) функцией \(x\), и затем находим \(A\).

Доказательство

\(\textbf{Первый способ}\)

Сделаем замену \(y=uv\), тогда \(y'=u'v+uv'\). Получим:

\begin{gather*}
u'v+uv'+Puv=Q \\
u'v + u(v'-Pv)=Q. \\
\end{gather*}

Запишем систему уравнений:

\[ \begin{cases}
v'-Pv=0 \\
u'v=Q. \\
\end{cases} \]

Решаем систему. Сначала находим функцию \(v\):

\begin{gather*}
v'-Pv=0 \\
\frac{dv}{dx} = Pv \\
\int{\frac{dv}{v}} = \int{Pdx} \\
\ln|v| = \int{Pdx} \\
v = e^{\int{Pdx}} \\
\end{gather*}

Теперь найдём функцию \(u\) из второго уравнения:

\begin{gather*}
u' \cdot e^{\int{Pdx}} = Q \\
du = \frac{Q}{e^{\int{Pdx}}} dx \\
u = \int{\frac{Q}{e^{\int{Pdx}}} dx} + C
\end{gather*}

Теперь можно подставить функции \(v\) и \(u\) в выражение \(y=uv\), нашу изначальную замену:

\[
y = e^{\int{Pdx}} \cdot (\int{\frac{Q}{e^{\int{Pdx}}} dx} + C).
\]

\(\textbf{Второй способ}\)

Сначала решаем однородное уравнение \(y'+Py=0\):
\begin{gather*}
\frac{dy}{dx} = -Py \\
\frac{dy}{y} = -Pdx \\
\ln|y| = -\int{Pdx} + A^* \\
y = Ae^{-\int{Pdx}}.
\end{gather*}
Перейдём к решению неоднородного уравнения: найдём функцию \(A(x)\). Подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение:
\begin{gather*}
A'e^{-\int{Pdx}}-Ae^{-\int{Pdx}}\cdot P + P\cdot Ae^{-\int{Pdx}} = Q \\
A'e^{\int{Pdx}} = Q \\
\frac{dA}{dx} = \frac{Q}{e^{\int{Pdx}}}.
\end{gather*}
Дорешать уравнение для поиска \(A\) и второй константы обычно не составляет труда.