Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений вида \(AX=B\). Если определитель квадратной матрицы системы уравнений \(A\) не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится по формуле:

\[x_{i} = \frac{\Delta _{i}}{det A} \text{ },\text{ } i \subset{[1, n]},\]

где \(\Delta _{i} \) - определители матриц, которые получаются из матрицы A заменой i-го столбца на столбец свободных членов B.

Доказательство

Пусть задана система n уравнений с n неизвестными: \(\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \ldots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \ldots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\ \ldots \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \ldots + a_{nn}x_{n} = b_{n} , \end{cases}\)

где A \(-\) матрица коэффициентов этой системы, а B \(-\) столбец свободных членов: A=\(\begin{pmatrix} a_{11} \ a_{12} \ \ldots \ a_{1n} \\ a_{21} \ a_{22} \ \ldots \ a_{2n} \\\vdots \vdots \ddots \vdots \\ a_{n1} \ a_{n2} \ \cdots \ a_{nn} \end{pmatrix}\) и B=\(\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\\vdots\\ b_{n} \end{pmatrix}\)

Пусть \(A\) \(-\) матрица коэффициентов системы и \(B\) \(-\) столбец правых частей. Мы знаем, что система определена тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов \(A\) равен рангу расширенной матрицы коэффициентов \((A|B)\) (расширенная матрица получается путем приписывания к матрице \(A\) столбца \(B\) справа) и равен количеству неизвестных. Так как матрица \(A\) квадратная, ее ранг равен количеству неизвестных тогда и только тогда, когда он равен размеру этой матрицы, то есть \(det A \neq 0\). С другой стороны, если \(det A \neq 0\), то \(rk A = n\) и тогда \(n = rk A ≤ rk (A|B) ≤ n\). Отсюда ранги \(A\) и \((A|B)\) равны, то есть выполнены все условия определенности системы. Пусть теперь \(det A \neq 0\). Тогда матрица \(A\) обратима. Изначальная СЛУ в матричном сиде имеет вид \(AX = B\), где \(X\) \(-\) столбец решения. Умножая слева на \(A^{-1}\), получаем \(X = A^{-1} B\).

Рассмотрим матрицу \(A^{-1} \Delta_i\). Каждый столбец умножается на \(A^{-1}\) отдельно. Поэтому в матрице \(A^{-1} \Delta_i\) все столбцы, кроме \(i\)-го \(-\) это столбцы единичной матрицы, а \(i\)-ый \(-\) это столбец \(X\) Получаем, что

\(\dfrac{det \Delta_i}{\det A} = det(\Delta_i A^{-1}) = \left|\begin{array}{cccccc}1 & 0 & \ldots & x_1 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & x_2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & x_i & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & x_n & \ldots & 1\end{array}\right| = x_i\)

\[\textbf{Пример}\]

Решим следующую систему:

\[\left\{\begin{array}{l}x_1+2 x_2=5 \\ 2 x_1+3 x_2=8\end{array}\right.\]

Имеем:

\(\operatorname{det} A=\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 3\end{array}\right|=-1, \operatorname{det} A_1=\left|\begin{array}{ll}5 & 2 \\ 8 & 3\end{array}\right|=-1, \operatorname{det} A_2=\left|\begin{array}{ll}1 & 5 \\ 2 & 8\end{array}\right|=-2\)

Отсюда по методу Крамера \(x_1 = 1, \ x_2 = 2\).