Рассмотрим \(\href{https://examp.info/onedef/diofantovo-uravnenie/}{\text{диофантово уравнение}}\) первой степени \[ax + by = c.\] Если \((a, b) = d \neq 1\) и \(c\) не делится на \(d\), то уравнение не имеет решений.
Если \((a, b) = d \neq 1\) и \(c\) делится на \(d\), то уравнение имеет следующие решения
\[x = x_0 + \dfrac{b}{d}n,\]\[y = y_0 - \dfrac{a}{d}n,\] где \(n \in \mathbb{Z},\) а \((x_0, y_0)\) \(-\) частное решение исходного уравнения.

Доказательство

Если \(c = 0\), то, т. к. должно быть выполнено \(\dfrac{x}{y} = -\dfrac{b}{a},\) любое решение имеет вид \(x = bn, \) \(y = -an.\)
Если \(c \neq 0\) и уравнение имеет решение \((x_0, y_0)\), то целое число \(ax_0 + by_0\) должно делиться на \(d = (a, b),\) поэтому \(c\) также должно делиться на наибольший общий делитель \(a\) и \(b\). Следовательно, если \(c\) не делится на наибольший общий делитель чисел \(a\) и \(b\), то уравнение не имеет решений.
Если \(c\) делится на \(d\) \(-\) наибольший общий делитель чисел \(a\) и \(b\), то уравнение можно упростить, разделив его на \(d\). Получится уравнение
\[a_1x + b_1y = c_1,\] где \(a_1\) и \(b_1\) \(-\) взаимно простые числа.

Пусть \((a, b) = 1\) и \((x_0, y_0)\) \(-\) частное решение. Покажем что любое решение имеет вид
\[x = x_0 + bn,\]\[y = y_0 - an.\]
Пусть \((x_1, y_1)\) \(-\) тоже решение. Тогда справедливы равенства
\[ax_0 + by_0 = c,\]\[ax_1 + by_1 = c.\]
Вычитая одно из другого, получим, что \[a(x_1 - x_0) = b(y_0 - y_1).\]
Левая часть равенства делится на \(a\), значит и правая его часть делится на \(a\), но \((a, b) = 1\), следовательно, \(y_0 - y_1\) делится на \(a.\) Т. е. такое целое число \(n,\) что \(y_0 - y_1 = na.\)
С учётом последних двух равенств получаем, что \(x_1 - x_0 = nb.\) Что и даёт требуемый результат.

Итак, если \((a, b) = d \neq 1\) и \(c\) не делится на \(d\), то уравнение не имеет решений.
Если \((a, b) = d \neq 1\) и \(c\) делится на \(d\), то, разделив уравнение на \(d\), надо перейти к случаю \((a_1, b_1) = 1.\)