Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Доказательство

Пусть на прямой \(l_1\) отложена равные отрезки \(A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4, \ldots\) И через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую \(l_2\) в точках \(B_1, B_2, B_3, \ldots \). Докажем, что отрезки \(B_1B_2 = B_2B_3\).
Сначала рассмотрим случай \(l_1 \parallel l_2\). Тогда \(A_1A_2 = B_1B_2, A_2A_3 = B_2B_3\), как противоположные стороны параллелограммов \(A_1A_2B_2B_1\) и \(A_2A_3B_3B_2\). Так как \(A_1A_2 = A_2A_3\) ,то и \(B_1B_2 = B_2B_3\).
В случае, когда \(l_1 \nparallel l_2\) проведем через точку \(B\) прямую \(l \parallel l_1\). Она пересечет прямые \(A_2B_2\) и \(A_3B_3\) в некоторых точках \(C\) и \(D\). Так как \(A_1A_2 = A_2A_3\), то по доказанному ранее \(B_1C = CD\). Откуда получаем \(B_1B_2 = B_2B_3\) (Так как \(CB_2\) средняя линяя \( \Delta B_1DB_3\)).