Пусть \(f(x)\) непрерывна на \([a,b]\). Тогда \(\Phi(x) = \displaystyle \int \limits_a^x f(t)dt\) дифференцируема на \((a,b)\), и \(f(x)=\Phi'(x)\).

Доказательство

Рассмотрим \(\Delta x >0\): \(\Phi(x_0+\Delta x)-\Phi(x_0)= \displaystyle \int \limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt=\)

\(=\textit{по теореме о среднем}=f(\xi_1) \cdot (x_0+\Delta x-x_0)=f(\xi_1) \cdot \Delta x\), где \(\xi_1 \in (x_0;x_0+\Delta x)\).

Рассмотрим \(\Delta x <0\): \(\Phi(x_0+\Delta x)-\Phi(x_0)= -\displaystyle \int \limits_{x_0+\Delta x}^{x_0}f(t)dt=\)

\(=\textit{по теореме о среднем}=-f(\xi_2) \cdot (x_0-x_0-\Delta x)=f(\xi_2) \cdot \Delta x\), где \(\xi_2 \in (x_0+\Delta x;x_0)\).

При \(\Delta x \rightarrow 0\) \(\Longrightarrow\) \((\Delta x+x_0) \rightarrow x_0\) \(\Longrightarrow\) \(\xi_1, \xi_2 \rightarrow x_0\). Следовательно:

\(\Phi'(x_0)=\underset{\Delta x \rightarrow 0}{\lim} \dfrac{\Phi (x_0+\Delta x)- \Phi(x_0)}{\Delta x}=\underset{\xi \rightarrow x_0}{\lim} \dfrac{\Delta x \cdot f(\xi)}{\Delta x}=f(x_0)\).

То есть \(\forall x_0 \in (a,b)\) \(\Phi'(x_0)=f(x_0)\) \(\Longrightarrow\)
\(\Phi'(x)=f(x)\), что и означает, что функция дифференцируема на заданном отрезке.

Замечание 1. Если у функции \(f(x)\) существуют первообразные, то \(\Phi (x)=\displaystyle \int \limits_a^x f(t)dt\) - одна из них.

Замечание 2. \(\Phi(a)=\displaystyle \int\limits^a_a f(t)dt=0\) по определению.