\[
\sqrt{ab}\leqslant \dfrac{a+b}{2},
\] где \(a\) и \(b\) неотрицательные. Причем равентсво достигается тогда и только тогда, когда \(a=b\). Напомним,
\begin{gather*}
\dfrac{a+b}{2} \text{ — среднее арифметическое чисел \(a\) и \(b\)},
\\
\sqrt{ab} \text{ — среднее геометрическое чисел \(a\) и \(b\)}.
\end{gather*}

Доказательство

\[
\dfrac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\dfrac{a-2\sqrt{ab}+b}{2}=\dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}\geqslant 0.
\]
Причем равенство нулю достигается тогда и только тогда, когда
\[
\sqrt{a}-\sqrt{b}=0 \Leftrightarrow a=b.
\]
\(\textbf{Пример 1.}\) Докажем, что для любого положительного числа выполнено неравенство
\[
x+\dfrac{1}{x}\geqslant 2.
\]
Действиетльно, пложим \(a=x\), \(b=\dfrac{1}{x}\). Тогда \(ab=1\). Откуда и следует требуемое.

\(\textbf{Пример 2.}\) Докажем, что для любых неотрицательных чисел \(a,b,c\) выполнено неравенство
\[
(a+b)(b+c)(a+c)\geqslant 8abc.
\]
Достаточно воспользоваться три раза неравенством.
\begin{gather*}
\left\{\begin{array}{l}
a+b\geqslant 2\sqrt{ab}\\
b+c\geqslant 2\sqrt{bc}\\
a+c\geqslant 2\sqrt{ac}
\end{array}\right. \Rightarrow (a+b)(b+c)(a+c)\geqslant 8\sqrt{a^2b^2c^2} \\ \Rightarrow (a+b)(b+c)(a+c)\geqslant 8abc.
\end{gather*}