\(y^2=2px\) -каноническое уравнение параболы.

Доказательство

Выведем уравнение параболы. Для этого введем ДСК так, что ось \(OX\) проходила через фокус - т.\(F\), перпендикулярно директрисе параболы \(d\), расстояние от пересечения \(F\cap d\) до \(F\) равно \(p\).

Начало координат т.\(O\) лежит на удалении \(p/2\) от т.\(F\), т.\(M\) - текущая точка параболы.

Из определения параболы, \(\overrightarrow{MF}=\rho (M;d)\). \(|\overrightarrow{MF}|=\sqrt{(x-\frac{p}{2})^2+(y-0)^2}\); \(\rho (M;d)=x+\frac{p}{2}\) \((>0)\)\(\sqrt{(x-\frac{p}{2})^2+y^2}=x+\frac{p}{2}\)\((x-\frac{p}{2})^2+y^2=x^2+\frac{p^2}{4}+xp\)\(x^2+\frac{p^2}{4}-xp+y^2=x^2+\frac{p^2}{4}+xp\)\(y^2=2px\) \(-\) каноническое уравнение параболы.

Заметим, что в правой части уравнения множитель \(2p\) показывает сжатие/растяжение графика параболы относительно введенной нами оси \(OX.\)

Пример: Пусть дана точка \(M(5,8)\), принадлежащая параболе.Необходимо найти уравнение этой параболы. Подставим координаты точки в уравнение параболы \(y^2=2px\): \(8^2=2\cdot p\cdot 5\) \(\to\) \(p=\dfrac{64}{10}=6,4\).Уравнение параболы примет вид: \(y=2\cdot 6,4\cdot x\). Координаты фокуса: \(F=(\frac{p}{2};0)=(3,2;0)\).