Пусть \( a = (a_1, \dots, a_n) \) и \( b = (b_1, \dots, b_n) \) — векторы из \( \mathbb{R}^n \). Тогда
\[
\left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \leqslant\left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right),
\]
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы \( a \) и \( b \) пропорциональны.

Доказательство

Рассмотрим квадратичную функцию
\[
f(t) = \sum_{i=1}^n (a_i t + b_i)^2.
\]
Очевидно, \( f(t) \geqslant 0 \) для всех \( t \in \mathbb{R} \).

Раскроем скобки:
\[
f(t) = \sum_{i=1}^n (a_i^2 t^2 + 2 a_i b_i t + b_i^2) = t^2 \sum_{i=1}^n a_i^2 + 2t \sum_{i=1}^n a_i b_i + \sum_{i=1}^n b_i^2.
\]

Введём обозначения:
\[
A = \sum_{i=1}^n a_i^2, \quad B = \sum_{i=1}^n a_i b_i, \quad C = \sum_{i=1}^n b_i^2.
\]
Тогда
\[
f(t) = A t^2 + 2B t + C \geqslant 0 \quad \forall t \in \mathbb{R}.
\]

\(\textbf{Случай 1.}\)

Если \( A = 0 \), то \( a_1 = \ldots = a_n = 0 \), и неравенство превращается в \( B^2 \leqslant 0 \), т.е. \( B = 0 \), и оно верно. Векторы тривиально линейно зависимы.

\(\textbf{Случай 2.}\)

Пусть \( A > 0 \). Квадратный трёхчлен \( f(t) \) неотрицателен при всех \( t \), значит, его дискриминант неположителен:
\[
D = (2B)^2 - 4 A C \leqslant 0.
\]
Отсюда
\[
4B^2 - 4 A C \leqslant 0 \quad \Rightarrow \quad B^2 \leqslant A C,
\]
что и есть требуемое неравенство:
\[
\left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \leqslant \left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right).
\]

\(\textbf{Случай равенства.}\)

Равенство \( B^2 = A C \) означает \( D = 0 \), т.е. \( f(t) \) имеет единственный вещественный корень \( t_0 \). Тогда
\[
f(t_0) = \sum_{i=1}^n (a_i t_0 + b_i)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad a_i t_0 + b_i = 0 \quad \forall i,
\]
то есть \( b = -t_0 a \), и векторы линейно зависимы.

Обратно, если \( \mathbf{b} = \lambda \mathbf{a} \), то
\[
\sum_{i=1}^n a_i b_i = \lambda \sum_{i=1}^n a_i^2, \quad \sum_{i=1}^n b_i^2 = \lambda^2 \sum_{i=1}^n a_i^2,
\]
и неравенство обращается в равенство.

\(\textbf{Пример 1: Двумерный случай (плоскость)}\)

\(\textbf{Векторы:}\)
\[
\mathbf{a} = (1, 2), \quad \mathbf{b} = (3, 1)
\]

\(\textbf{Вычисления:}\)

Скалярное произведение:
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 3 + 2 = 5
\]

Длины векторов:
\[
|\mathbf{a}|^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5
\]\[
|\mathbf{b}|^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10
\]

Проверка неравенства:
\[
(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 = 5^2 = 25
\]\[
|\mathbf{a}|^2 \cdot |\mathbf{b}|^2 = 5 \cdot 10 = 50
\]\[
25 \leqslant 50 \quad \text{✓ выполняется}
\]

Угол между векторами:
\[
\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|} = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
\[
\theta = 45^\circ
\]

\(\textbf{Пример 2: Четырёхмерный случай}\)

\(\textbf{Векторы:}\)
\[
\mathbf{a} = (1, 0, 2, -1), \quad \mathbf{b} = (3, 1, -1, 2)
\]

\(\textbf{Вычисления:}\)

Скалярное произведение:
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1\cdot3 + 0\cdot1 + 2\cdot(-1) + (-1)\cdot2 = 3 + 0 - 2 - 2 = -1
\]

Квадраты норм:
\[
\|\mathbf{a}\|^2 = 1^2 + 0^2 + 2^2 + (-1)^2 = 1 + 0 + 4 + 1 = 6
\]
\[
\|\mathbf{b}\|^2 = 3^2 + 1^2 + (-1)^2 + 2^2 = 9 + 1 + 1 + 4 = 15
\]

Проверка неравенства:
\[
(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 = (-1)^2 = 1
\]
\[
|\mathbf{a}\|^2 \cdot \|\mathbf{b}\|^2 = 6 \cdot 15 = 90
\]
\[
1 \leqslant 90 \quad \text{✓ выполняется}
\]

\(\textbf{Пример 3: Случай равенства (коллинеарности векторов)}\)

\(\textbf{Векторы:}\)
\[
\mathbf{a} = (2, 4), \quad \mathbf{b} = (3, 6) = 1{,}5 \cdot \mathbf{a}
\]

\(\textbf{Вычисления:}\)

Скалярное произведение:
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2\cdot3 + 4\cdot6 = 6 + 24 = 30
\]

Квадраты норм:
\[
\|\mathbf{a}\|^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20
\]
\[
\|\mathbf{b}\|^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45
\]

Проверка равенства:
\[
(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 = 30^2 = 900
\]
\[
\|\mathbf{a}\|^2 \cdot \|\mathbf{b}\|^2 = 20 \cdot 45 = 900
\]
\[
900 = 900 \quad \text{✓ равенство достигается}
\]