Пусть для функций \(f:E\rightarrow \mathbb{R},\ g:E\rightarrow \mathbb{R}\) и \(h:E\rightarrow \mathbb{R},\) на множестве \(E\) выполнено \[f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x),\]а также \[\exists \underset {x\to x_{0}} {\lim} f(x)=A,\ \exists \underset {x \to x_{0}} {\lim} h(x)=A.\]Тогда \[\exists \underset {x \to x_{0}} {\lim}g(x)=A.\]

Доказательство

Так как \(\exists \underset {x \to x_{0}} {\lim} f(x)=A\),\[\forall \varepsilon >0\ \exists \delta_1>0 \ (x \in \overset{\circ}{U}_{\delta_1}(x_0)\Rightarrow A-\varepsilon < f(x) < A+\varepsilon).\]

Получаем, что для \(x \in \overset{\circ}{U}_{\delta_1}(x_0)\) выполнено \(A-\varepsilon < f(x)\), а по условию \(f(x) \leqslant g(x)\). Отсюда, для тех же \(x\) верно \(A-\varepsilon <g(x)\).

Так как \(\exists \underset {x \to x_{0}} {\lim} h(x)=A\),\[\forall \varepsilon >0\ \exists \delta_2>0 \ (x \in \overset{\circ}{U}_{\delta_2}(x_0)\Rightarrow A-\varepsilon < h(x) < A+\varepsilon).\]

Получаем, что для \(x \in \overset{\circ}{U}_{\delta_2}(x_0)\) выполнено \(h(x)< A+\varepsilon\), а по условию \(g(x) \leqslant h(x)\). Отсюда, для тех же \(x\) верно \(g(x)< A+\varepsilon\).

В итоге, получаем \[\forall \varepsilon >0\ \exists \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}>0 \ (x \in \overset{\circ}{U}_{\delta_2}(x_0)\Rightarrow A-\varepsilon < g(x) < A+\varepsilon),\] то есть \(\exists \underset {x \to x_{0}} {\lim}g(x)=A\).