|
Утверждение о построении с помощью циркуля и линейки С помощью циркуля и линейки можно выполнять различные построения геометрических фигур на плоскости. Обсудим некоторые способы построения. Доказательство 1) С помощью циркуля и линейки можно строить серединный перпендикуляр к отрезку. В частности, можно найти его середину. Предположим, что нам дан отрезок \(A_1A_2\). С помощью циркуля проведем окружности с центрами в точках \(A_1\) и \(A_2\) одинакового радиуса так, чтобы они пересекались в некоторых двух точках \(B_1\) и \(B_2.\) Тогда \(B_1B_2\) будет серединным перпендикуляром к отрезку \(A_1A_2\), который пересечет отрезок в его середине. 2) С помощью циркуля и линейки можно опустить перпендикуляр на прямую из точки, не лежащей на данной прямой. Пусть у нас есть прямая \(l\) и точка \(D\), не лежащая на ней. Проведем окружность с центром в точке \(D\) так, чтобы она пересекла прямую в некоторых двух точках \(C_1\) и \(C_2\). Проведем серединный перпендикуляр к отрезку \(C_1C_2\), пользуясь результатом первого пункта. Тогда данный перпендикуляр пройдет через точку \(D\). 3) Пусть нам дана прямая \(m\) и точка \(E\), не лежащая на данной прямой. Пользуясь пунктом 2) опустим перпендикуляр из \(E\) на \(m\). Его основание обозначим за \(E1\). После этого отложим от точки \(E\) отрезок \(EE_2\) в направлении, противоположном \(EE_1\) такой же длины. Построим серединный перпендикуляр к отрезку \(E_1E_2\). Данный перпендикуляр \(m'\) будет параллелен прямой \(m\). 4) Наконец, построим точку на отрезке \(MN\), делящую данный отрезок в отношении \(2:1\), считая от вершины \(M.\) Для этого отложим от точки \(N\) два отрезка \(NN_1\) и \(NN_2\) равной длины в противоположных направлениях. После чего рассмотрим отрезки \(MN_1\) и \(MN_2\) и с помощью пункта 1) построим их середины. \(P_1\) и \(P_2\). Теперь рассмотрим отрезки \(MN\), \(N_1P_2\) и \(N_2P_1\). Они являются медианами треугольника \(MN_1N_2\). Значит, они пересекаются в некоторой точке \(P\), которая делит их в отношении \(2:1\), считая от вершин. В частности, точка \(P\) лежит на отрезке \(MN\) и делит его в отношении \(2:1\), считая от точки \(M.\)
|
